Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29167 / 17936
↖ ↑ ↗
← N 62.875189°
W 19.780884°		 ← 278.48 m → N 62.875189°
W 19.775391°		 →
↑
278.54 m
↓
↑
278.54 m
↓
N 62.872684°
W 19.780884°		 ← 278.50 m →
77 570 m²		 N 62.872684°
W 19.775391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445060729980469 y=0.273689270019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445060729980469 × 216)
    floor (0.445060729980469 × 65536)
    floor (29167.5)     		tx = 29167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273689270019531 × 216)
    floor (0.273689270019531 × 65536)
    floor (17936.5)     		ty = 17936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29167 / 17936 ti = "16/29167/17936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29167/17936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29167 ÷ 216
    29167 ÷ 65536     		x = 0.445053100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17936 ÷ 216
    17936 ÷ 65536     		y = 0.273681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445053100585938 × 2 - 1) × π
    -0.109893798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34524155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273681640625 × 2 - 1) × π
    0.45263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42200019032935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34524155} λ = -0.34524155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42200019032935))-π/2
    2×atan(4.1454037498836)-π/2
    2×1.33408769090894-π/2
    2.66817538181788-1.57079632675     		φ = 1.09737906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34524155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.780884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09737906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.875189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29167 KachelY 17936 -0.34524155 1.09737906 -19.780884 62.875189
    Oben rechts KachelX + 1 29168 KachelY 17936 -0.34514568 1.09737906 -19.775391 62.875189
    Unten links KachelX 29167 KachelY + 1 17937 -0.34524155 1.09733534 -19.780884 62.872684
    Unten rechts KachelX + 1 29168 KachelY + 1 17937 -0.34514568 1.09733534 -19.775391 62.872684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09737906-1.09733534) × R
    4.37199999998583e-05 × 6371000     		dl = 278.540119999097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09737906-1.09733534) × R
    4.37199999998583e-05 × 6371000     		dr = 278.540119999097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34524155--0.34514568) × cos(1.09737906) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455930361820595 × 6371000     		do = 278.476688971688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34524155--0.34514568) × cos(1.09733534) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455969272860411 × 6371000     		du = 278.500455358926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09737906)-sin(1.09733534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455930361820595-0.455969272860411)×R²
    abs(-0.34514568--0.34524155)×3.89110398166248e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.89110398166248e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.89110398166248e-05×40589641000000     		ar = 77570.2403219283m²