Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29167 / 14290
↖ ↑ ↗
← N 70.696320°
W 19.780884°		 ← 201.91 m → N 70.696320°
W 19.775391°		 →
↑
201.96 m
↓
↑
201.96 m
↓
N 70.694504°
W 19.780884°		 ← 201.93 m →
40 780 m²		 N 70.694504°
W 19.775391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445060729980469 y=0.218055725097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445060729980469 × 216)
    floor (0.445060729980469 × 65536)
    floor (29167.5)     		tx = 29167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218055725097656 × 216)
    floor (0.218055725097656 × 65536)
    floor (14290.5)     		ty = 14290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29167 / 14290 ti = "16/29167/14290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29167/14290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29167 ÷ 216
    29167 ÷ 65536     		x = 0.445053100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14290 ÷ 216
    14290 ÷ 65536     		y = 0.218048095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445053100585938 × 2 - 1) × π
    -0.109893798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34524155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218048095703125 × 2 - 1) × π
    0.56390380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7715560623588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34524155} λ = -0.34524155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7715560623588))-π/2
    2×atan(5.87999588663721)-π/2
    2×1.40233993831786-π/2
    2.80467987663572-1.57079632675     		φ = 1.23388355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34524155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.780884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23388355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.696320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29167 KachelY 14290 -0.34524155 1.23388355 -19.780884 70.696320
    Oben rechts KachelX + 1 29168 KachelY 14290 -0.34514568 1.23388355 -19.775391 70.696320
    Unten links KachelX 29167 KachelY + 1 14291 -0.34524155 1.23385185 -19.780884 70.694504
    Unten rechts KachelX + 1 29168 KachelY + 1 14291 -0.34514568 1.23385185 -19.775391 70.694504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23388355-1.23385185) × R
    3.17000000000789e-05 × 6371000     		dl = 201.960700000503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23388355-1.23385185) × R
    3.17000000000789e-05 × 6371000     		dr = 201.960700000503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34524155--0.34514568) × cos(1.23388355) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33057501346131 × 6371000     		do = 201.911175289749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34524155--0.34514568) × cos(1.23385185) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330604931112343 × 6371000     		du = 201.929448625107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23388355)-sin(1.23385185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33057501346131-0.330604931112343)×R²
    abs(-0.34514568--0.34524155)×2.99176510332733e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.99176510332733e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.99176510332733e-05×40589641000000     		ar = 40779.9675507635m²