Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29166 / 19214
↖ ↑ ↗
← N 59.495303°
W 19.786377°		 ← 310.04 m → N 59.495303°
W 19.780884°		 →
↑
310.08 m
↓
↑
310.08 m
↓
N 59.492515°
W 19.786377°		 ← 310.07 m →
96 141 m²		 N 59.492515°
W 19.780884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445045471191406 y=0.293190002441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445045471191406 × 216)
    floor (0.445045471191406 × 65536)
    floor (29166.5)     		tx = 29166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293190002441406 × 216)
    floor (0.293190002441406 × 65536)
    floor (19214.5)     		ty = 19214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29166 / 19214 ti = "16/29166/19214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29166/19214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29166 ÷ 216
    29166 ÷ 65536     		x = 0.445037841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19214 ÷ 216
    19214 ÷ 65536     		y = 0.293182373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445037841796875 × 2 - 1) × π
    -0.10992431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34533742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293182373046875 × 2 - 1) × π
    0.41363525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.29947347490048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34533742} λ = -0.34533742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29947347490048))-π/2
    2×atan(3.66736519935405)-π/2
    2×1.30459262902555-π/2
    2.60918525805111-1.57079632675     		φ = 1.03838893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34533742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.786377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03838893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.495303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29166 KachelY 19214 -0.34533742 1.03838893 -19.786377 59.495303
    Oben rechts KachelX + 1 29167 KachelY 19214 -0.34524155 1.03838893 -19.780884 59.495303
    Unten links KachelX 29166 KachelY + 1 19215 -0.34533742 1.03834026 -19.786377 59.492515
    Unten rechts KachelX + 1 29167 KachelY + 1 19215 -0.34524155 1.03834026 -19.780884 59.492515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03838893-1.03834026) × R
    4.86699999999729e-05 × 6371000     		dl = 310.076569999827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03838893-1.03834026) × R
    4.86699999999729e-05 × 6371000     		dr = 310.076569999827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34533742--0.34524155) × cos(1.03838893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.507608993251146 × 6371000     		do = 310.041365019806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34533742--0.34524155) × cos(1.03834026) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.507650926116087 × 6371000     		du = 310.066977100873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03838893)-sin(1.03834026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507608993251146-0.507650926116087)×R²
    abs(-0.34524155--0.34533742)×4.193286494103e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.193286494103e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.193286494103e-05×40589641000000     		ar = 96140.5338953432m²