Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29165 / 19201
↖ ↑ ↗
← N 59.531532°
W 19.791870°		 ← 309.74 m → N 59.531532°
W 19.786377°		 →
↑
309.69 m
↓
↑
309.69 m
↓
N 59.528747°
W 19.791870°		 ← 309.77 m →
95 929 m²		 N 59.528747°
W 19.786377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445030212402344 y=0.292991638183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445030212402344 × 216)
    floor (0.445030212402344 × 65536)
    floor (29165.5)     		tx = 29165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292991638183594 × 216)
    floor (0.292991638183594 × 65536)
    floor (19201.5)     		ty = 19201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29165 / 19201 ti = "16/29165/19201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29165/19201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29165 ÷ 216
    29165 ÷ 65536     		x = 0.445022583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19201 ÷ 216
    19201 ÷ 65536     		y = 0.292984008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445022583007812 × 2 - 1) × π
    -0.109954833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34543330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292984008789062 × 2 - 1) × π
    0.414031982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.3007198342906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34543330} λ = -0.34543330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3007198342906))-π/2
    2×atan(3.6719389040551)-π/2
    2×1.30490879083621-π/2
    2.60981758167243-1.57079632675     		φ = 1.03902125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34543330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.791870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03902125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.531532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29165 KachelY 19201 -0.34543330 1.03902125 -19.791870 59.531532
    Oben rechts KachelX + 1 29166 KachelY 19201 -0.34533742 1.03902125 -19.786377 59.531532
    Unten links KachelX 29165 KachelY + 1 19202 -0.34543330 1.03897264 -19.791870 59.528747
    Unten rechts KachelX + 1 29166 KachelY + 1 19202 -0.34533742 1.03897264 -19.786377 59.528747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03902125-1.03897264) × R
    4.86100000001155e-05 × 6371000     		dl = 309.694310000736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03902125-1.03897264) × R
    4.86100000001155e-05 × 6371000     		dr = 309.694310000736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34543330--0.34533742) × cos(1.03902125) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.507064092768205 × 6371000     		do = 309.740851522291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34543330--0.34533742) × cos(1.03897264) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.50710598953406 × 6371000     		du = 309.766444223721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03902125)-sin(1.03897264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507064092768205-0.50710598953406)×R²
    abs(-0.34533742--0.34543330)×4.18967658551983e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.18967658551983e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.18967658551983e-05×40589641000000     		ar = 95928.9422671365m²