Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29165 / 14293
↖ ↑ ↗
← N 70.690872°
W 19.791870°		 ← 201.99 m → N 70.690872°
W 19.786377°		 →
↑
202.02 m
↓
↑
202.02 m
↓
N 70.689055°
W 19.791870°		 ← 202.01 m →
40 808 m²		 N 70.689055°
W 19.786377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445030212402344 y=0.218101501464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445030212402344 × 216)
    floor (0.445030212402344 × 65536)
    floor (29165.5)     		tx = 29165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218101501464844 × 216)
    floor (0.218101501464844 × 65536)
    floor (14293.5)     		ty = 14293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29165 / 14293 ti = "16/29165/14293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29165/14293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29165 ÷ 216
    29165 ÷ 65536     		x = 0.445022583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14293 ÷ 216
    14293 ÷ 65536     		y = 0.218093872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445022583007812 × 2 - 1) × π
    -0.109954833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34543330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218093872070312 × 2 - 1) × π
    0.563812255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.77126844096107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34543330} λ = -0.34543330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77126844096107))-π/2
    2×atan(5.87830491719286)-π/2
    2×1.40229239164119-π/2
    2.80458478328237-1.57079632675     		φ = 1.23378846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34543330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.791870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23378846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.690872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29165 KachelY 14293 -0.34543330 1.23378846 -19.791870 70.690872
    Oben rechts KachelX + 1 29166 KachelY 14293 -0.34533742 1.23378846 -19.786377 70.690872
    Unten links KachelX 29165 KachelY + 1 14294 -0.34543330 1.23375675 -19.791870 70.689055
    Unten rechts KachelX + 1 29166 KachelY + 1 14294 -0.34533742 1.23375675 -19.786377 70.689055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23378846-1.23375675) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dl = 202.024410000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23378846-1.23375675) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dr = 202.024410000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34543330--0.34533742) × cos(1.23378846) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.330664755980232 × 6371000     		do = 201.987055574348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34543330--0.34533742) × cos(1.23375675) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.330694682071993 × 6371000     		du = 202.005335971791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23378846)-sin(1.23375675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330664755980232-0.330694682071993)×R²
    abs(-0.34533742--0.34543330)×2.99260917610011e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.99260917610011e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.99260917610011e-05×40589641000000     		ar = 40808.1622766709m²