Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29164 / 17948
↖ ↑ ↗
← N 62.845119°
W 19.797363°		 ← 278.76 m → N 62.845119°
W 19.791870°		 →
↑
278.79 m
↓
↑
278.79 m
↓
N 62.842612°
W 19.797363°		 ← 278.79 m →
77 721 m²		 N 62.842612°
W 19.791870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445014953613281 y=0.273872375488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445014953613281 × 216)
    floor (0.445014953613281 × 65536)
    floor (29164.5)     		tx = 29164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273872375488281 × 216)
    floor (0.273872375488281 × 65536)
    floor (17948.5)     		ty = 17948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29164 / 17948 ti = "16/29164/17948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29164/17948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29164 ÷ 216
    29164 ÷ 65536     		x = 0.44500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17948 ÷ 216
    17948 ÷ 65536     		y = 0.27386474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44500732421875 × 2 - 1) × π
    -0.1099853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34552917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27386474609375 × 2 - 1) × π
    0.4522705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42084970473846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34552917} λ = -0.34552917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42084970473846))-π/2
    2×atan(4.14063726501281)-π/2
    2×1.33382528594072-π/2
    2.66765057188143-1.57079632675     		φ = 1.09685425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34552917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.797363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09685425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.845119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29164 KachelY 17948 -0.34552917 1.09685425 -19.797363 62.845119
    Oben rechts KachelX + 1 29165 KachelY 17948 -0.34543330 1.09685425 -19.791870 62.845119
    Unten links KachelX 29164 KachelY + 1 17949 -0.34552917 1.09681049 -19.797363 62.842612
    Unten rechts KachelX + 1 29165 KachelY + 1 17949 -0.34543330 1.09681049 -19.791870 62.842612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09685425-1.09681049) × R
    4.37600000000593e-05 × 6371000     		dl = 278.794960000378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09685425-1.09681049) × R
    4.37600000000593e-05 × 6371000     		dr = 278.794960000378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34552917--0.34543330) × cos(1.09685425) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.456397388021196 × 6371000     		do = 278.761942863285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34552917--0.34543330) × cos(1.09681049) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.45643632418427 × 6371000     		du = 278.785724595501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09685425)-sin(1.09681049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456397388021196-0.45643632418427)×R²
    abs(-0.34543330--0.34552917)×3.89361630735996e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.89361630735996e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.89361630735996e-05×40589641000000     		ar = 77720.7398360422m²