Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29163 / 43236
↖ ↑ ↗
← S 49.738682°
W 19.802857°		 ← 394.78 m → S 49.738682°
W 19.797363°		 →
↑
394.75 m
↓
↑
394.75 m
↓
S 49.742232°
W 19.802857°		 ← 394.75 m →
155 832 m²		 S 49.742232°
W 19.797363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444999694824219 y=0.659736633300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444999694824219 × 216)
    floor (0.444999694824219 × 65536)
    floor (29163.5)     		tx = 29163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659736633300781 × 216)
    floor (0.659736633300781 × 65536)
    floor (43236.5)     		ty = 43236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29163 / 43236 ti = "16/29163/43236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29163/43236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29163 ÷ 216
    29163 ÷ 65536     		x = 0.444992065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43236 ÷ 216
    43236 ÷ 65536     		y = 0.65972900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444992065429688 × 2 - 1) × π
    -0.110015869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34562505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65972900390625 × 2 - 1) × π
    -0.3194580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0036069304455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34562505} λ = -0.34562505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0036069304455))-π/2
    2×atan(0.366554915786278)-π/2
    2×0.351346283303374-π/2
    0.702692566606748-1.57079632675     		φ = -0.86810376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34562505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.802857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86810376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.738682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29163 KachelY 43236 -0.34562505 -0.86810376 -19.802857 -49.738682
    Oben rechts KachelX + 1 29164 KachelY 43236 -0.34552917 -0.86810376 -19.797363 -49.738682
    Unten links KachelX 29163 KachelY + 1 43237 -0.34562505 -0.86816572 -19.802857 -49.742232
    Unten rechts KachelX + 1 29164 KachelY + 1 43237 -0.34552917 -0.86816572 -19.797363 -49.742232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86810376--0.86816572) × R
    6.19600000000275e-05 × 6371000     		dl = 394.747160000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86810376--0.86816572) × R
    6.19600000000275e-05 × 6371000     		dr = 394.747160000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34562505--0.34552917) × cos(-0.86810376) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.646274738165481 × 6371000     		do = 394.777880294966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34562505--0.34552917) × cos(-0.86816572) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.646227454950468 × 6371000     		du = 394.748997273096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86810376)-sin(-0.86816572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646274738165481-0.646227454950468)×R²
    abs(-0.34552917--0.34562505)×4.72832150127944e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72832150127944e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72832150127944e-05×40589641000000     		ar = 155831.74638181m²