Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29163 / 17943
↖ ↑ ↗
← N 62.857652°
W 19.802857°		 ← 278.67 m → N 62.857652°
W 19.797363°		 →
↑
278.67 m
↓
↑
278.67 m
↓
N 62.855145°
W 19.802857°		 ← 278.70 m →
77 660 m²		 N 62.855145°
W 19.797363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444999694824219 y=0.273796081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444999694824219 × 216)
    floor (0.444999694824219 × 65536)
    floor (29163.5)     		tx = 29163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273796081542969 × 216)
    floor (0.273796081542969 × 65536)
    floor (17943.5)     		ty = 17943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29163 / 17943 ti = "16/29163/17943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29163/17943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29163 ÷ 216
    29163 ÷ 65536     		x = 0.444992065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17943 ÷ 216
    17943 ÷ 65536     		y = 0.273788452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444992065429688 × 2 - 1) × π
    -0.110015869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34562505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273788452148438 × 2 - 1) × π
    0.452423095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42132907373466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34562505} λ = -0.34562505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42132907373466))-π/2
    2×atan(4.14262263396631)-π/2
    2×1.33393465399368-π/2
    2.66786930798736-1.57079632675     		φ = 1.09707298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34562505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.802857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09707298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.857652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29163 KachelY 17943 -0.34562505 1.09707298 -19.802857 62.857652
    Oben rechts KachelX + 1 29164 KachelY 17943 -0.34552917 1.09707298 -19.797363 62.857652
    Unten links KachelX 29163 KachelY + 1 17944 -0.34562505 1.09702924 -19.802857 62.855145
    Unten rechts KachelX + 1 29164 KachelY + 1 17944 -0.34552917 1.09702924 -19.797363 62.855145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09707298-1.09702924) × R
    4.37400000001809e-05 × 6371000     		dl = 278.667540001152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09707298-1.09702924) × R
    4.37400000001809e-05 × 6371000     		dr = 278.667540001152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34562505--0.34552917) × cos(1.09707298) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.456202756389043 × 6371000     		do = 278.672128920305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34562505--0.34552917) × cos(1.09702924) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.456241679122718 × 6371000     		du = 278.695904929776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09707298)-sin(1.09702924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456202756389043-0.456241679122718)×R²
    abs(-0.34552917--0.34562505)×3.89227336752285e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.89227336752285e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.89227336752285e-05×40589641000000     		ar = 77660.1894465176m²