Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29162 / 14684
↖ ↑ ↗
← N 69.967967°
W 19.808350°		 ← 209.22 m → N 69.967967°
W 19.802857°		 →
↑
209.22 m
↓
↑
209.22 m
↓
N 69.966086°
W 19.808350°		 ← 209.24 m →
43 776 m²		 N 69.966086°
W 19.802857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444984436035156 y=0.224067687988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444984436035156 × 216)
    floor (0.444984436035156 × 65536)
    floor (29162.5)     		tx = 29162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224067687988281 × 216)
    floor (0.224067687988281 × 65536)
    floor (14684.5)     		ty = 14684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29162 / 14684 ti = "16/29162/14684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29162/14684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29162 ÷ 216
    29162 ÷ 65536     		x = 0.444976806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14684 ÷ 216
    14684 ÷ 65536     		y = 0.22406005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444976806640625 × 2 - 1) × π
    -0.11004638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34572092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22406005859375 × 2 - 1) × π
    0.5518798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73378178545819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34572092} λ = -0.34572092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73378178545819))-π/2
    2×atan(5.66202603828702)-π/2
    2×1.39598386318312-π/2
    2.79196772636624-1.57079632675     		φ = 1.22117140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34572092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.808350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22117140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.967967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29162 KachelY 14684 -0.34572092 1.22117140 -19.808350 69.967967
    Oben rechts KachelX + 1 29163 KachelY 14684 -0.34562505 1.22117140 -19.802857 69.967967
    Unten links KachelX 29162 KachelY + 1 14685 -0.34572092 1.22113856 -19.808350 69.966086
    Unten rechts KachelX + 1 29163 KachelY + 1 14685 -0.34562505 1.22113856 -19.802857 69.966086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22117140-1.22113856) × R
    3.2840000000034e-05 × 6371000     		dl = 209.223640000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22117140-1.22113856) × R
    3.2840000000034e-05 × 6371000     		dr = 209.223640000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34572092--0.34562505) × cos(1.22117140) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342545449810102 × 6371000     		do = 209.222571413155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34572092--0.34562505) × cos(1.22113856) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342576302846716 × 6371000     		du = 209.241416070586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22117140)-sin(1.22113856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342545449810102-0.342576302846716)×R²
    abs(-0.34562505--0.34572092)×3.08530366134874e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08530366134874e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08530366134874e-05×40589641000000     		ar = 43776.2793391184m²