Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29161 / 43302
↖ ↑ ↗
← S 49.972423°
W 19.813843°		 ← 392.83 m → S 49.972423°
W 19.808350°		 →
↑
392.77 m
↓
↑
392.77 m
↓
S 49.975955°
W 19.813843°		 ← 392.80 m →
154 288 m²		 S 49.975955°
W 19.808350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444969177246094 y=0.660743713378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444969177246094 × 216)
    floor (0.444969177246094 × 65536)
    floor (29161.5)     		tx = 29161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660743713378906 × 216)
    floor (0.660743713378906 × 65536)
    floor (43302.5)     		ty = 43302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29161 / 43302 ti = "16/29161/43302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29161/43302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29161 ÷ 216
    29161 ÷ 65536     		x = 0.444961547851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43302 ÷ 216
    43302 ÷ 65536     		y = 0.660736083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444961547851562 × 2 - 1) × π
    -0.110076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34581679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660736083984375 × 2 - 1) × π
    -0.32147216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.00993460119534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34581679} λ = -0.34581679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00993460119534))-π/2
    2×atan(0.364242799836321)-π/2
    2×0.349306510767404-π/2
    0.698613021534809-1.57079632675     		φ = -0.87218331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34581679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.813843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87218331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.972423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29161 KachelY 43302 -0.34581679 -0.87218331 -19.813843 -49.972423
    Oben rechts KachelX + 1 29162 KachelY 43302 -0.34572092 -0.87218331 -19.808350 -49.972423
    Unten links KachelX 29161 KachelY + 1 43303 -0.34581679 -0.87224496 -19.813843 -49.975955
    Unten rechts KachelX + 1 29162 KachelY + 1 43303 -0.34572092 -0.87224496 -19.808350 -49.975955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87218331--0.87224496) × R
    6.16499999999132e-05 × 6371000     		dl = 392.772149999447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87218331--0.87224496) × R
    6.16499999999132e-05 × 6371000     		dr = 392.772149999447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34581679--0.34572092) × cos(-0.87218331) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.643156244661592 × 6371000     		do = 392.83196843842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34581679--0.34572092) × cos(-0.87224496) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.643109035878466 × 6371000     		du = 392.803133891049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87218331)-sin(-0.87224496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643156244661592-0.643109035878466)×R²
    abs(-0.34572092--0.34581679)×4.72087831268064e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72087831268064e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72087831268064e-05×40589641000000     		ar = 154287.794177389m²