Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29160 / 17961
↖ ↑ ↗
← N 62.812509°
W 19.819336°		 ← 279.10 m → N 62.812509°
W 19.813843°		 →
↑
279.05 m
↓
↑
279.05 m
↓
N 62.809999°
W 19.819336°		 ← 279.12 m →
77 886 m²		 N 62.809999°
W 19.813843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444953918457031 y=0.274070739746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444953918457031 × 216)
    floor (0.444953918457031 × 65536)
    floor (29160.5)     		tx = 29160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274070739746094 × 216)
    floor (0.274070739746094 × 65536)
    floor (17961.5)     		ty = 17961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29160 / 17961 ti = "16/29160/17961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29160/17961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29160 ÷ 216
    29160 ÷ 65536     		x = 0.4449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17961 ÷ 216
    17961 ÷ 65536     		y = 0.274063110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4449462890625 × 2 - 1) × π
    -0.110107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34591267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274063110351562 × 2 - 1) × π
    0.451873779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.41960334534834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34591267} λ = -0.34591267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41960334534834))-π/2
    2×atan(4.13547975759802)-π/2
    2×1.33354071060313-π/2
    2.66708142120626-1.57079632675     		φ = 1.09628509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34591267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.819336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09628509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.812509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29160 KachelY 17961 -0.34591267 1.09628509 -19.819336 62.812509
    Oben rechts KachelX + 1 29161 KachelY 17961 -0.34581679 1.09628509 -19.813843 62.812509
    Unten links KachelX 29160 KachelY + 1 17962 -0.34591267 1.09624129 -19.819336 62.809999
    Unten rechts KachelX + 1 29161 KachelY + 1 17962 -0.34581679 1.09624129 -19.813843 62.809999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09628509-1.09624129) × R
    4.38000000000383e-05 × 6371000     		dl = 279.049800000244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09628509-1.09624129) × R
    4.38000000000383e-05 × 6371000     		dr = 279.049800000244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34591267--0.34581679) × cos(1.09628509) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.456903739008697 × 6371000     		do = 279.100325190975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34591267--0.34581679) × cos(1.09624129) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.45694269937759 × 6371000     		du = 279.124124189975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09628509)-sin(1.09624129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456903739008697-0.45694269937759)×R²
    abs(-0.34581679--0.34591267)×3.89603688936146e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.89603688936146e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.89603688936146e-05×40589641000000     		ar = 77886.2104898338m²