Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29160 / 14176
↖ ↑ ↗
← N 70.902268°
W 19.819336°		 ← 199.86 m → N 70.902268°
W 19.813843°		 →
↑
199.86 m
↓
↑
199.86 m
↓
N 70.900471°
W 19.819336°		 ← 199.88 m →
39 945 m²		 N 70.900471°
W 19.813843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444953918457031 y=0.216316223144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444953918457031 × 216)
    floor (0.444953918457031 × 65536)
    floor (29160.5)     		tx = 29160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216316223144531 × 216)
    floor (0.216316223144531 × 65536)
    floor (14176.5)     		ty = 14176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29160 / 14176 ti = "16/29160/14176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29160/14176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29160 ÷ 216
    29160 ÷ 65536     		x = 0.4449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14176 ÷ 216
    14176 ÷ 65536     		y = 0.21630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4449462890625 × 2 - 1) × π
    -0.110107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34591267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21630859375 × 2 - 1) × π
    0.5673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78248567547217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34591267} λ = -0.34591267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78248567547217))-π/2
    2×atan(5.94461445148587)-π/2
    2×1.40413717758987-π/2
    2.80827435517974-1.57079632675     		φ = 1.23747803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34591267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.819336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23747803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.902268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29160 KachelY 14176 -0.34591267 1.23747803 -19.819336 70.902268
    Oben rechts KachelX + 1 29161 KachelY 14176 -0.34581679 1.23747803 -19.813843 70.902268
    Unten links KachelX 29160 KachelY + 1 14177 -0.34591267 1.23744666 -19.819336 70.900471
    Unten rechts KachelX + 1 29161 KachelY + 1 14177 -0.34581679 1.23744666 -19.813843 70.900471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23747803-1.23744666) × R
    3.1369999999864e-05 × 6371000     		dl = 199.858269999134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23747803-1.23744666) × R
    3.1369999999864e-05 × 6371000     		dr = 199.858269999134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34591267--0.34581679) × cos(1.23747803) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.32718048787772 × 6371000     		do = 199.858685247212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34591267--0.34581679) × cos(1.23744666) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.327210131170468 × 6371000     		du = 199.876792896459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23747803)-sin(1.23744666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32718048787772-0.327210131170468)×R²
    abs(-0.34581679--0.34591267)×2.96432927486823e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.96432927486823e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.96432927486823e-05×40589641000000     		ar = 39945.2205627752m²