Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2916 / 3429
↖ ↑ ↗
← N 28.110749°
W 51.855468°		 ← 4 310.08 m → N 28.110749°
W 51.811523°		 →
↑
4 310.87 m
↓
↑
4 310.87 m
↓
N 28.071980°
W 51.855468°		 ← 4 311.63 m →
18 583 545 m²		 N 28.071980°
W 51.811523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.35601806640625 y=0.41864013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.35601806640625 × 213)
    floor (0.35601806640625 × 8192)
    floor (2916.5)     		tx = 2916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41864013671875 × 213)
    floor (0.41864013671875 × 8192)
    floor (3429.5)     		ty = 3429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2916 / 3429 ti = "13/2916/3429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2916/3429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2916 ÷ 213
    2916 ÷ 8192     		x = 0.35595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3429 ÷ 213
    3429 ÷ 8192     		y = 0.4185791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35595703125 × 2 - 1) × π
    -0.2880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.90504866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4185791015625 × 2 - 1) × π
    0.162841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.511582592745239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90504866} λ = -0.90504866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.511582592745239))-π/2
    2×atan(1.66792875925428)-π/2
    2×1.03071072392799-π/2
    2.06142144785597-1.57079632675     		φ = 0.49062512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90504866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.855468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49062512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.110749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2916 KachelY 3429 -0.90504866 0.49062512 -51.855468 28.110749
    Oben rechts KachelX + 1 2917 KachelY 3429 -0.90428167 0.49062512 -51.811523 28.110749
    Unten links KachelX 2916 KachelY + 1 3430 -0.90504866 0.48994848 -51.855468 28.071980
    Unten rechts KachelX + 1 2917 KachelY + 1 3430 -0.90428167 0.48994848 -51.811523 28.071980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49062512-0.48994848) × R
    0.000676640000000006 × 6371000     		dl = 4310.87344000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49062512-0.48994848) × R
    0.000676640000000006 × 6371000     		dr = 4310.87344000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90504866--0.90428167) × cos(0.49062512) × R
    0.000766989999999912 × 0.882038488577257 × 6371000     		do = 4310.07515595401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90504866--0.90428167) × cos(0.48994848) × R
    0.000766989999999912 × 0.882357104084877 × 6371000     		du = 4311.63206849409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49062512)-sin(0.48994848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882038488577257-0.882357104084877)×R²
    abs(-0.90428167--0.90504866)×0.000318615507620024×R²
    0.000766989999999912×0.000318615507620024×6371000²
    0.000766989999999912×0.000318615507620024×40589641000000     		ar = 18583545.0496923m²