Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2916 / 1556
↖ ↑ ↗
← N 81.024916°
W115.927734°		 ← 381.16 m → N 81.024916°
W115.905761°		 →
↑
381.24 m
↓
↑
381.24 m
↓
N 81.021487°
W115.927734°		 ← 381.31 m →
145 343 m²		 N 81.021487°
W115.905761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.178009033203125 y=0.095001220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.178009033203125 × 214)
    floor (0.178009033203125 × 16384)
    floor (2916.5)     		tx = 2916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.095001220703125 × 214)
    floor (0.095001220703125 × 16384)
    floor (1556.5)     		ty = 1556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2916 / 1556 ti = "14/2916/1556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2916/1556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2916 ÷ 214
    2916 ÷ 16384     		x = 0.177978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1556 ÷ 214
    1556 ÷ 16384     		y = 0.094970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.177978515625 × 2 - 1) × π
    -0.64404296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.02332066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.094970703125 × 2 - 1) × π
    0.81005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54487412702954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.02332066} λ = -2.02332066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54487412702954))-π/2
    2×atan(12.7416241590407)-π/2
    2×1.49247394400712-π/2
    2.98494788801423-1.57079632675     		φ = 1.41415156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.02332066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.927734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41415156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.024916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2916 KachelY 1556 -2.02332066 1.41415156 -115.927734 81.024916
    Oben rechts KachelX + 1 2917 KachelY 1556 -2.02293716 1.41415156 -115.905761 81.024916
    Unten links KachelX 2916 KachelY + 1 1557 -2.02332066 1.41409172 -115.927734 81.021487
    Unten rechts KachelX + 1 2917 KachelY + 1 1557 -2.02293716 1.41409172 -115.905761 81.021487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41415156-1.41409172) × R
    5.98400000000332e-05 × 6371000     		dl = 381.240640000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41415156-1.41409172) × R
    5.98400000000332e-05 × 6371000     		dr = 381.240640000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.02332066--2.02293716) × cos(1.41415156) × R
    0.00038349999999987 × 0.156004938298302 × 6371000     		do = 381.16351163794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.02332066--2.02293716) × cos(1.41409172) × R
    0.00038349999999987 × 0.156064045354463 × 6371000     		du = 381.307926637455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41415156)-sin(1.41409172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156004938298302-0.156064045354463)×R²
    abs(-2.02293716--2.02332066)×5.91070561603846e-05×R²
    0.00038349999999987×5.91070561603846e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.91070561603846e-05×40589641000000     		ar = 145342.549597792m²