Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29157 / 14680
↖ ↑ ↗
← N 69.975493°
W 19.835815°		 ← 209.15 m → N 69.975493°
W 19.830323°		 →
↑
209.16 m
↓
↑
209.16 m
↓
N 69.973611°
W 19.835815°		 ← 209.17 m →
43 747 m²		 N 69.973611°
W 19.830323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444908142089844 y=0.224006652832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444908142089844 × 216)
    floor (0.444908142089844 × 65536)
    floor (29157.5)     		tx = 29157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224006652832031 × 216)
    floor (0.224006652832031 × 65536)
    floor (14680.5)     		ty = 14680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29157 / 14680 ti = "16/29157/14680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29157/14680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29157 ÷ 216
    29157 ÷ 65536     		x = 0.444900512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14680 ÷ 216
    14680 ÷ 65536     		y = 0.2239990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444900512695312 × 2 - 1) × π
    -0.110198974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34620029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2239990234375 × 2 - 1) × π
    0.552001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73416528065515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34620029} λ = -0.34620029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73416528065515))-π/2
    2×atan(5.66419781448402)-π/2
    2×1.39604953361933-π/2
    2.79209906723866-1.57079632675     		φ = 1.22130274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34620029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.835815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22130274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.975493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29157 KachelY 14680 -0.34620029 1.22130274 -19.835815 69.975493
    Oben rechts KachelX + 1 29158 KachelY 14680 -0.34610442 1.22130274 -19.830323 69.975493
    Unten links KachelX 29157 KachelY + 1 14681 -0.34620029 1.22126991 -19.835815 69.973611
    Unten rechts KachelX + 1 29158 KachelY + 1 14681 -0.34610442 1.22126991 -19.830323 69.973611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22130274-1.22126991) × R
    3.28300000000947e-05 × 6371000     		dl = 209.159930000604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22130274-1.22126991) × R
    3.28300000000947e-05 × 6371000     		dr = 209.159930000604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34620029--0.34610442) × cos(1.22130274) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342422052760671 × 6371000     		do = 209.147202004508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34620029--0.34610442) × cos(1.22126991) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342452897879204 × 6371000     		du = 209.166041825672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22130274)-sin(1.22126991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342422052760671-0.342452897879204)×R²
    abs(-0.34610442--0.34620029)×3.08451185329628e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08451185329628e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08451185329628e-05×40589641000000     		ar = 43747.1844026501m²