Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29157 / 14175
↖ ↑ ↗
← N 70.904066°
W 19.835815°		 ← 199.82 m → N 70.904066°
W 19.830323°		 →
↑
199.86 m
↓
↑
199.86 m
↓
N 70.902268°
W 19.835815°		 ← 199.84 m →
39 937 m²		 N 70.902268°
W 19.830323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444908142089844 y=0.216300964355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444908142089844 × 216)
    floor (0.444908142089844 × 65536)
    floor (29157.5)     		tx = 29157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216300964355469 × 216)
    floor (0.216300964355469 × 65536)
    floor (14175.5)     		ty = 14175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29157 / 14175 ti = "16/29157/14175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29157/14175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29157 ÷ 216
    29157 ÷ 65536     		x = 0.444900512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14175 ÷ 216
    14175 ÷ 65536     		y = 0.216293334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444900512695312 × 2 - 1) × π
    -0.110198974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34620029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216293334960938 × 2 - 1) × π
    0.567413330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78258154927141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34620029} λ = -0.34620029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78258154927141))-π/2
    2×atan(5.94518441158003)-π/2
    2×1.40415286089771-π/2
    2.80830572179541-1.57079632675     		φ = 1.23750940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34620029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.835815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23750940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.904066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29157 KachelY 14175 -0.34620029 1.23750940 -19.835815 70.904066
    Oben rechts KachelX + 1 29158 KachelY 14175 -0.34610442 1.23750940 -19.830323 70.904066
    Unten links KachelX 29157 KachelY + 1 14176 -0.34620029 1.23747803 -19.835815 70.902268
    Unten rechts KachelX + 1 29158 KachelY + 1 14176 -0.34610442 1.23747803 -19.830323 70.902268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23750940-1.23747803) × R
    3.13700000000861e-05 × 6371000     		dl = 199.858270000548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23750940-1.23747803) × R
    3.13700000000861e-05 × 6371000     		dr = 199.858270000548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34620029--0.34610442) × cos(1.23750940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327150844263 × 6371000     		do = 199.819734621011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34620029--0.34610442) × cos(1.23747803) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32718048787772 × 6371000     		du = 199.83784057834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23750940)-sin(1.23747803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327150844263-0.32718048787772)×R²
    abs(-0.34610442--0.34620029)×2.96436147196322e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.96436147196322e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.96436147196322e-05×40589641000000     		ar = 39937.4357893621m²