Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29156 / 43340
↖ ↑ ↗
← S 50.106488°
W 19.841308°		 ← 391.74 m → S 50.106488°
W 19.835815°		 →
↑
391.75 m
↓
↑
391.75 m
↓
S 50.110011°
W 19.841308°		 ← 391.71 m →
153 458 m²		 S 50.110011°
W 19.835815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444892883300781 y=0.661323547363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444892883300781 × 216)
    floor (0.444892883300781 × 65536)
    floor (29156.5)     		tx = 29156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661323547363281 × 216)
    floor (0.661323547363281 × 65536)
    floor (43340.5)     		ty = 43340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29156 / 43340 ti = "16/29156/43340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29156/43340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29156 ÷ 216
    29156 ÷ 65536     		x = 0.44488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43340 ÷ 216
    43340 ÷ 65536     		y = 0.66131591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.1102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34629616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66131591796875 × 2 - 1) × π
    -0.3226318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01357780556647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34629616} λ = -0.34629616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01357780556647))-π/2
    2×atan(0.362918203228988)-π/2
    2×0.348136569677723-π/2
    0.696273139355446-1.57079632675     		φ = -0.87452319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34629616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.841308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87452319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.106488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29156 KachelY 43340 -0.34629616 -0.87452319 -19.841308 -50.106488
    Oben rechts KachelX + 1 29157 KachelY 43340 -0.34620029 -0.87452319 -19.835815 -50.106488
    Unten links KachelX 29156 KachelY + 1 43341 -0.34629616 -0.87458468 -19.841308 -50.110011
    Unten rechts KachelX + 1 29157 KachelY + 1 43341 -0.34620029 -0.87458468 -19.835815 -50.110011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87452319--0.87458468) × R
    6.14899999999974e-05 × 6371000     		dl = 391.752789999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87452319--0.87458468) × R
    6.14899999999974e-05 × 6371000     		dr = 391.752789999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34629616--0.34620029) × cos(-0.87452319) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.641362757702155 × 6371000     		do = 391.736528537941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34629616--0.34620029) × cos(-0.87458468) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.641315579038511 × 6371000     		du = 391.707712387182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87452319)-sin(-0.87458468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641362757702155-0.641315579038511)×R²
    abs(-0.34620029--0.34629616)×4.71786636443428e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71786636443428e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71786636443428e-05×40589641000000     		ar = 153458.233644671m²