Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29156 / 14179
↖ ↑ ↗
← N 70.896876°
W 19.841308°		 ← 199.89 m → N 70.896876°
W 19.835815°		 →
↑
199.92 m
↓
↑
199.92 m
↓
N 70.895078°
W 19.841308°		 ← 199.91 m →
39 965 m²		 N 70.895078°
W 19.835815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444892883300781 y=0.216361999511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444892883300781 × 216)
    floor (0.444892883300781 × 65536)
    floor (29156.5)     		tx = 29156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216361999511719 × 216)
    floor (0.216361999511719 × 65536)
    floor (14179.5)     		ty = 14179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29156 / 14179 ti = "16/29156/14179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29156/14179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29156 ÷ 216
    29156 ÷ 65536     		x = 0.44488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14179 ÷ 216
    14179 ÷ 65536     		y = 0.216354370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.1102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34629616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216354370117188 × 2 - 1) × π
    0.567291259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78219805407445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34629616} λ = -0.34629616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78219805407445))-π/2
    2×atan(5.94290489903214)-π/2
    2×1.40409011914036-π/2
    2.80818023828072-1.57079632675     		φ = 1.23738391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34629616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.841308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23738391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.896876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29156 KachelY 14179 -0.34629616 1.23738391 -19.841308 70.896876
    Oben rechts KachelX + 1 29157 KachelY 14179 -0.34620029 1.23738391 -19.835815 70.896876
    Unten links KachelX 29156 KachelY + 1 14180 -0.34629616 1.23735253 -19.841308 70.895078
    Unten rechts KachelX + 1 29157 KachelY + 1 14180 -0.34620029 1.23735253 -19.835815 70.895078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23738391-1.23735253) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dl = 199.921980000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23738391-1.23735253) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dr = 199.921980000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34629616--0.34620029) × cos(1.23738391) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327269426239248 × 6371000     		do = 199.892163041845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34629616--0.34620029) × cos(1.23735253) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327299078015015 × 6371000     		du = 199.910273983842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23738391)-sin(1.23735253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327269426239248-0.327299078015015)×R²
    abs(-0.34620029--0.34629616)×2.96517757668591e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.96517757668591e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.96517757668591e-05×40589641000000     		ar = 39964.6474131342m²