Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29156 / 14156
↖ ↑ ↗
← N 70.938181°
W 19.841308°		 ← 199.48 m → N 70.938181°
W 19.835815°		 →
↑
199.48 m
↓
↑
199.48 m
↓
N 70.936387°
W 19.841308°		 ← 199.49 m →
39 792 m²		 N 70.936387°
W 19.835815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444892883300781 y=0.216011047363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444892883300781 × 216)
    floor (0.444892883300781 × 65536)
    floor (29156.5)     		tx = 29156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216011047363281 × 216)
    floor (0.216011047363281 × 65536)
    floor (14156.5)     		ty = 14156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29156 / 14156 ti = "16/29156/14156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29156/14156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29156 ÷ 216
    29156 ÷ 65536     		x = 0.44488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14156 ÷ 216
    14156 ÷ 65536     		y = 0.21600341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.1102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34629616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21600341796875 × 2 - 1) × π
    0.5679931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78440315145697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34629616} λ = -0.34629616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78440315145697))-π/2
    2×atan(5.95602404224782)-π/2
    2×1.40445057392121-π/2
    2.80890114784241-1.57079632675     		φ = 1.23810482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34629616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.841308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23810482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.938181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29156 KachelY 14156 -0.34629616 1.23810482 -19.841308 70.938181
    Oben rechts KachelX + 1 29157 KachelY 14156 -0.34620029 1.23810482 -19.835815 70.938181
    Unten links KachelX 29156 KachelY + 1 14157 -0.34629616 1.23807351 -19.841308 70.936387
    Unten rechts KachelX + 1 29157 KachelY + 1 14157 -0.34620029 1.23807351 -19.835815 70.936387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23810482-1.23807351) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dl = 199.476010000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23810482-1.23807351) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dr = 199.476010000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34629616--0.34620029) × cos(1.23810482) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.326588130999465 × 6371000     		do = 199.476036241627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34629616--0.34620029) × cos(1.23807351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.326617724010445 × 6371000     		du = 199.494111290811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23810482)-sin(1.23807351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326588130999465-0.326617724010445)×R²
    abs(-0.34620029--0.34629616)×2.95930109802112e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.95930109802112e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.95930109802112e-05×40589641000000     		ar = 39792.4865729825m²