Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29155 / 14685
↖ ↑ ↗
← N 69.966086°
W 19.846802°		 ← 209.26 m → N 69.966086°
W 19.841308°		 →
↑
209.29 m
↓
↑
209.29 m
↓
N 69.964204°
W 19.846802°		 ← 209.28 m →
43 798 m²		 N 69.964204°
W 19.841308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444877624511719 y=0.224082946777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444877624511719 × 216)
    floor (0.444877624511719 × 65536)
    floor (29155.5)     		tx = 29155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224082946777344 × 216)
    floor (0.224082946777344 × 65536)
    floor (14685.5)     		ty = 14685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29155 / 14685 ti = "16/29155/14685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29155/14685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29155 ÷ 216
    29155 ÷ 65536     		x = 0.444869995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14685 ÷ 216
    14685 ÷ 65536     		y = 0.224075317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444869995117188 × 2 - 1) × π
    -0.110260009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34639204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224075317382812 × 2 - 1) × π
    0.551849365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73368591165895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34639204} λ = -0.34639204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73368591165895))-π/2
    2×atan(5.66148322436057)-π/2
    2×1.39596744187671-π/2
    2.79193488375342-1.57079632675     		φ = 1.22113856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34639204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.846802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22113856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.966086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29155 KachelY 14685 -0.34639204 1.22113856 -19.846802 69.966086
    Oben rechts KachelX + 1 29156 KachelY 14685 -0.34629616 1.22113856 -19.841308 69.966086
    Unten links KachelX 29155 KachelY + 1 14686 -0.34639204 1.22110571 -19.846802 69.964204
    Unten rechts KachelX + 1 29156 KachelY + 1 14686 -0.34629616 1.22110571 -19.841308 69.964204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22113856-1.22110571) × R
    3.28499999999732e-05 × 6371000     		dl = 209.287349999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22113856-1.22110571) × R
    3.28499999999732e-05 × 6371000     		dr = 209.287349999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34639204--0.34629616) × cos(1.22113856) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.342576302846716 × 6371000     		do = 209.263241606828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34639204--0.34629616) × cos(1.22110571) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.34260716490866 × 6371000     		du = 209.282093743043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22113856)-sin(1.22110571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342576302846716-0.34260716490866)×R²
    abs(-0.34629616--0.34639204)×3.08620619442479e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.08620619442479e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.08620619442479e-05×40589641000000     		ar = 43798.122049185m²