Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29155 / 14169
↖ ↑ ↗
← N 70.914845°
W 19.846802°		 ← 199.73 m → N 70.914845°
W 19.841308°		 →
↑
199.73 m
↓
↑
199.73 m
↓
N 70.913049°
W 19.846802°		 ← 199.75 m →
39 894 m²		 N 70.913049°
W 19.841308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444877624511719 y=0.216209411621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444877624511719 × 216)
    floor (0.444877624511719 × 65536)
    floor (29155.5)     		tx = 29155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216209411621094 × 216)
    floor (0.216209411621094 × 65536)
    floor (14169.5)     		ty = 14169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29155 / 14169 ti = "16/29155/14169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29155/14169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29155 ÷ 216
    29155 ÷ 65536     		x = 0.444869995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14169 ÷ 216
    14169 ÷ 65536     		y = 0.216201782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444869995117188 × 2 - 1) × π
    -0.110260009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34639204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216201782226562 × 2 - 1) × π
    0.567596435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78315679206685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34639204} λ = -0.34639204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78315679206685))-π/2
    2×atan(5.94860531991246)-π/2
    2×1.4042469309116-π/2
    2.8084938618232-1.57079632675     		φ = 1.23769754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34639204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.846802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23769754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.914845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29155 KachelY 14169 -0.34639204 1.23769754 -19.846802 70.914845
    Oben rechts KachelX + 1 29156 KachelY 14169 -0.34629616 1.23769754 -19.841308 70.914845
    Unten links KachelX 29155 KachelY + 1 14170 -0.34639204 1.23766619 -19.846802 70.913049
    Unten rechts KachelX + 1 29156 KachelY + 1 14170 -0.34629616 1.23766619 -19.841308 70.913049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23769754-1.23766619) × R
    3.13499999999856e-05 × 6371000     		dl = 199.730849999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23769754-1.23766619) × R
    3.13499999999856e-05 × 6371000     		dr = 199.730849999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34639204--0.34629616) × cos(1.23769754) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.326973051417624 × 6371000     		do = 199.731972378556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34639204--0.34629616) × cos(1.23766619) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.327002678062267 × 6371000     		du = 199.750069858284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23769754)-sin(1.23766619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326973051417624-0.327002678062267)×R²
    abs(-0.34629616--0.34639204)×2.96266446427329e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.96266446427329e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.96266446427329e-05×40589641000000     		ar = 39894.4439310893m²