Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29154 / 14690
↖ ↑ ↗
← N 69.956674°
W 19.852295°		 ← 209.34 m → N 69.956674°
W 19.846802°		 →
↑
209.35 m
↓
↑
209.35 m
↓
N 69.954792°
W 19.852295°		 ← 209.35 m →
43 827 m²		 N 69.954792°
W 19.846802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444862365722656 y=0.224159240722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444862365722656 × 216)
    floor (0.444862365722656 × 65536)
    floor (29154.5)     		tx = 29154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224159240722656 × 216)
    floor (0.224159240722656 × 65536)
    floor (14690.5)     		ty = 14690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29154 / 14690 ti = "16/29154/14690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29154/14690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29154 ÷ 216
    29154 ÷ 65536     		x = 0.444854736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14690 ÷ 216
    14690 ÷ 65536     		y = 0.224151611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444854736328125 × 2 - 1) × π
    -0.11029052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34648791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224151611328125 × 2 - 1) × π
    0.55169677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73320654266275
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34648791} λ = -0.34648791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73320654266275))-π/2
    2×atan(5.65876993521561)-π/2
    2×1.39588531315473-π/2
    2.79177062630946-1.57079632675     		φ = 1.22097430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34648791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.852295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22097430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.956674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29154 KachelY 14690 -0.34648791 1.22097430 -19.852295 69.956674
    Oben rechts KachelX + 1 29155 KachelY 14690 -0.34639204 1.22097430 -19.846802 69.956674
    Unten links KachelX 29154 KachelY + 1 14691 -0.34648791 1.22094144 -19.852295 69.954792
    Unten rechts KachelX + 1 29155 KachelY + 1 14691 -0.34639204 1.22094144 -19.846802 69.954792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22097430-1.22094144) × R
    3.28599999999124e-05 × 6371000     		dl = 209.351059999442m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22097430-1.22094144) × R
    3.28599999999124e-05 × 6371000     		dr = 209.351059999442m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34648791--0.34639204) × cos(1.22097430) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.34273061885329 × 6371000     		do = 209.335670400116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34648791--0.34639204) × cos(1.22094144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342761488460438 × 6371000     		du = 209.354525178627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22097430)-sin(1.22094144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34273061885329-0.342761488460438)×R²
    abs(-0.34639204--0.34648791)×3.08696071476544e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08696071476544e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08696071476544e-05×40589641000000     		ar = 43826.6181317986m²