Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29154 / 14686
↖ ↑ ↗
← N 69.964204°
W 19.852295°		 ← 209.26 m → N 69.964204°
W 19.846802°		 →
↑
209.29 m
↓
↑
209.29 m
↓
N 69.962321°
W 19.852295°		 ← 209.28 m →
43 797 m²		 N 69.962321°
W 19.846802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444862365722656 y=0.224098205566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444862365722656 × 216)
    floor (0.444862365722656 × 65536)
    floor (29154.5)     		tx = 29154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224098205566406 × 216)
    floor (0.224098205566406 × 65536)
    floor (14686.5)     		ty = 14686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29154 / 14686 ti = "16/29154/14686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29154/14686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29154 ÷ 216
    29154 ÷ 65536     		x = 0.444854736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14686 ÷ 216
    14686 ÷ 65536     		y = 0.224090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444854736328125 × 2 - 1) × π
    -0.11029052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34648791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224090576171875 × 2 - 1) × π
    0.55181884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73359003785971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34648791} λ = -0.34648791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73359003785971))-π/2
    2×atan(5.66094046247325)-π/2
    2×1.39595101909112-π/2
    2.79190203818225-1.57079632675     		φ = 1.22110571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34648791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.852295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22110571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.964204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29154 KachelY 14686 -0.34648791 1.22110571 -19.852295 69.964204
    Oben rechts KachelX + 1 29155 KachelY 14686 -0.34639204 1.22110571 -19.846802 69.964204
    Unten links KachelX 29154 KachelY + 1 14687 -0.34648791 1.22107286 -19.852295 69.962321
    Unten rechts KachelX + 1 29155 KachelY + 1 14687 -0.34639204 1.22107286 -19.846802 69.962321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22110571-1.22107286) × R
    3.28499999999732e-05 × 6371000     		dl = 209.287349999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22110571-1.22107286) × R
    3.28499999999732e-05 × 6371000     		dr = 209.287349999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34648791--0.34639204) × cos(1.22110571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.34260716490866 × 6371000     		do = 209.260266240578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34648791--0.34639204) × cos(1.22107286) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342638026600889 × 6371000     		du = 209.279116184753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22110571)-sin(1.22107286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34260716490866-0.342638026600889)×R²
    abs(-0.34639204--0.34648791)×3.0861692229156e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.0861692229156e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.0861692229156e-05×40589641000000     		ar = 43797.4991130001m²