Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29154 / 14683
↖ ↑ ↗
← N 69.969849°
W 19.852295°		 ← 209.20 m → N 69.969849°
W 19.846802°		 →
↑
209.22 m
↓
↑
209.22 m
↓
N 69.967967°
W 19.852295°		 ← 209.22 m →
43 772 m²		 N 69.967967°
W 19.846802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444862365722656 y=0.224052429199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444862365722656 × 216)
    floor (0.444862365722656 × 65536)
    floor (29154.5)     		tx = 29154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224052429199219 × 216)
    floor (0.224052429199219 × 65536)
    floor (14683.5)     		ty = 14683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29154 / 14683 ti = "16/29154/14683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29154/14683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29154 ÷ 216
    29154 ÷ 65536     		x = 0.444854736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14683 ÷ 216
    14683 ÷ 65536     		y = 0.224044799804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444854736328125 × 2 - 1) × π
    -0.11029052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34648791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224044799804688 × 2 - 1) × π
    0.551910400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73387765925743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34648791} λ = -0.34648791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73387765925743))-π/2
    2×atan(5.66256890425761)-π/2
    2×1.39600028301047-π/2
    2.79200056602095-1.57079632675     		φ = 1.22120424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34648791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.852295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22120424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.969849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29154 KachelY 14683 -0.34648791 1.22120424 -19.852295 69.969849
    Oben rechts KachelX + 1 29155 KachelY 14683 -0.34639204 1.22120424 -19.846802 69.969849
    Unten links KachelX 29154 KachelY + 1 14684 -0.34648791 1.22117140 -19.852295 69.967967
    Unten rechts KachelX + 1 29155 KachelY + 1 14684 -0.34639204 1.22117140 -19.846802 69.967967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22120424-1.22117140) × R
    3.2840000000034e-05 × 6371000     		dl = 209.223640000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22120424-1.22117140) × R
    3.2840000000034e-05 × 6371000     		dr = 209.223640000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34648791--0.34639204) × cos(1.22120424) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342514596404065 × 6371000     		do = 209.203726530084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34648791--0.34639204) × cos(1.22117140) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342545449810102 × 6371000     		du = 209.222571413155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22120424)-sin(1.22117140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342514596404065-0.342545449810102)×R²
    abs(-0.34639204--0.34648791)×3.08534060369237e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08534060369237e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08534060369237e-05×40589641000000     		ar = 43772.3365674853m²