Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29153 / 14681
↖ ↑ ↗
← N 69.973611°
W 19.857788°		 ← 209.17 m → N 69.973611°
W 19.852295°		 →
↑
209.16 m
↓
↑
209.16 m
↓
N 69.971730°
W 19.857788°		 ← 209.18 m →
43 751 m²		 N 69.971730°
W 19.852295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444847106933594 y=0.224021911621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444847106933594 × 216)
    floor (0.444847106933594 × 65536)
    floor (29153.5)     		tx = 29153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224021911621094 × 216)
    floor (0.224021911621094 × 65536)
    floor (14681.5)     		ty = 14681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29153 / 14681 ti = "16/29153/14681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29153/14681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29153 ÷ 216
    29153 ÷ 65536     		x = 0.444839477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14681 ÷ 216
    14681 ÷ 65536     		y = 0.224014282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444839477539062 × 2 - 1) × π
    -0.110321044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34658378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224014282226562 × 2 - 1) × π
    0.551971435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.73406940685591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34658378} λ = -0.34658378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73406940685591))-π/2
    2×atan(5.66365479235112)-π/2
    2×1.39603311822846-π/2
    2.79206623645692-1.57079632675     		φ = 1.22126991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34658378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.857788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22126991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.973611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29153 KachelY 14681 -0.34658378 1.22126991 -19.857788 69.973611
    Oben rechts KachelX + 1 29154 KachelY 14681 -0.34648791 1.22126991 -19.852295 69.973611
    Unten links KachelX 29153 KachelY + 1 14682 -0.34658378 1.22123708 -19.857788 69.971730
    Unten rechts KachelX + 1 29154 KachelY + 1 14682 -0.34648791 1.22123708 -19.852295 69.971730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22126991-1.22123708) × R
    3.28299999998727e-05 × 6371000     		dl = 209.159929999189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22126991-1.22123708) × R
    3.28299999998727e-05 × 6371000     		dr = 209.159929999189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34658378--0.34648791) × cos(1.22126991) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342452897879204 × 6371000     		do = 209.166041825672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34658378--0.34648791) × cos(1.22123708) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342483742628638 × 6371000     		du = 209.184881421395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22126991)-sin(1.22123708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342452897879204-0.342483742628638)×R²
    abs(-0.34648791--0.34658378)×3.08447494339892e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08447494339892e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08447494339892e-05×40589641000000     		ar = 43751.1249147962m²