Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29153 / 14181
↖ ↑ ↗
← N 70.893280°
W 19.857788°		 ← 199.93 m → N 70.893280°
W 19.852295°		 →
↑
199.92 m
↓
↑
199.92 m
↓
N 70.891482°
W 19.857788°		 ← 199.95 m →
39 972 m²		 N 70.891482°
W 19.852295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444847106933594 y=0.216392517089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444847106933594 × 216)
    floor (0.444847106933594 × 65536)
    floor (29153.5)     		tx = 29153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216392517089844 × 216)
    floor (0.216392517089844 × 65536)
    floor (14181.5)     		ty = 14181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29153 / 14181 ti = "16/29153/14181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29153/14181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29153 ÷ 216
    29153 ÷ 65536     		x = 0.444839477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14181 ÷ 216
    14181 ÷ 65536     		y = 0.216384887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444839477539062 × 2 - 1) × π
    -0.110321044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34658378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216384887695312 × 2 - 1) × π
    0.567230224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78200630647597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34658378} λ = -0.34658378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78200630647597))-π/2
    2×atan(5.94176547053458)-π/2
    2×1.40405873973454-π/2
    2.80811747946908-1.57079632675     		φ = 1.23732115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34658378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.857788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23732115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.893280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29153 KachelY 14181 -0.34658378 1.23732115 -19.857788 70.893280
    Oben rechts KachelX + 1 29154 KachelY 14181 -0.34648791 1.23732115 -19.852295 70.893280
    Unten links KachelX 29153 KachelY + 1 14182 -0.34658378 1.23728977 -19.857788 70.891482
    Unten rechts KachelX + 1 29154 KachelY + 1 14182 -0.34648791 1.23728977 -19.852295 70.891482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23732115-1.23728977) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dl = 199.921980000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23732115-1.23728977) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dr = 199.921980000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34658378--0.34648791) × cos(1.23732115) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327328729468488 × 6371000     		do = 199.928384728987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34658378--0.34648791) × cos(1.23728977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32735838059964 × 6371000     		du = 199.946495277261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23732115)-sin(1.23728977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327328729468488-0.32735838059964)×R²
    abs(-0.34648791--0.34658378)×2.96511311519421e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.96511311519421e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.96511311519421e-05×40589641000000     		ar = 39971.8888850812m²