Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29152 / 43234
↖ ↑ ↗
← S 49.731581°
W 19.863281°		 ← 394.84 m → S 49.731581°
W 19.857788°		 →
↑
394.81 m
↓
↑
394.81 m
↓
S 49.735132°
W 19.863281°		 ← 394.81 m →
155 880 m²		 S 49.735132°
W 19.857788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444831848144531 y=0.659706115722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444831848144531 × 216)
    floor (0.444831848144531 × 65536)
    floor (29152.5)     		tx = 29152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659706115722656 × 216)
    floor (0.659706115722656 × 65536)
    floor (43234.5)     		ty = 43234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29152 / 43234 ti = "16/29152/43234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29152/43234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29152 ÷ 216
    29152 ÷ 65536     		x = 0.44482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43234 ÷ 216
    43234 ÷ 65536     		y = 0.659698486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44482421875 × 2 - 1) × π
    -0.1103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34667966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659698486328125 × 2 - 1) × π
    -0.31939697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00341518284702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34667966} λ = -0.34667966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00341518284702))-π/2
    2×atan(0.36662520855011)-π/2
    2×0.351408248651086-π/2
    0.702816497302171-1.57079632675     		φ = -0.86797983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34667966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.863281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86797983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.731581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29152 KachelY 43234 -0.34667966 -0.86797983 -19.863281 -49.731581
    Oben rechts KachelX + 1 29153 KachelY 43234 -0.34658378 -0.86797983 -19.857788 -49.731581
    Unten links KachelX 29152 KachelY + 1 43235 -0.34667966 -0.86804180 -19.863281 -49.735132
    Unten rechts KachelX + 1 29153 KachelY + 1 43235 -0.34658378 -0.86804180 -19.857788 -49.735132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86797983--0.86804180) × R
    6.19699999999668e-05 × 6371000     		dl = 394.810869999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86797983--0.86804180) × R
    6.19699999999668e-05 × 6371000     		dr = 394.810869999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34667966--0.34658378) × cos(-0.86797983) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.646369304782345 × 6371000     		do = 394.835646452836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34667966--0.34658378) × cos(-0.86804180) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.646322018899418 × 6371000     		du = 394.806761801267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86797983)-sin(-0.86804180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646369304782345-0.646322018899418)×R²
    abs(-0.34658378--0.34667966)×4.72858829272393e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72858829272393e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72858829272393e-05×40589641000000     		ar = 155879.703145682m²