Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29152 / 24224
↖ ↑ ↗
← N 74.283563°
W 99.931641°		 ← 82.73 m → N 74.283563°
W 99.928894°		 →
↑
82.70 m
↓
↑
82.70 m
↓
N 74.282820°
W 99.931641°		 ← 82.74 m →
6 842 m²		 N 74.282820°
W 99.928894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222415924072266 y=0.184818267822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222415924072266 × 217)
    floor (0.222415924072266 × 131072)
    floor (29152.5)     		tx = 29152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.184818267822266 × 217)
    floor (0.184818267822266 × 131072)
    floor (24224.5)     		ty = 24224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29152 / 24224 ti = "17/29152/24224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29152/24224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29152 ÷ 217
    29152 ÷ 131072     		x = 0.222412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24224 ÷ 217
    24224 ÷ 131072     		y = 0.184814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222412109375 × 2 - 1) × π
    -0.55517578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.74413616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.184814453125 × 2 - 1) × π
    0.63037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.98036919710376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74413616} λ = -1.74413616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.98036919710376))-π/2
    2×atan(7.24541747857164)-π/2
    2×1.43364454472578-π/2
    2.86728908945156-1.57079632675     		φ = 1.29649276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74413616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.931641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29649276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.283563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29152 KachelY 24224 -1.74413616 1.29649276 -99.931641 74.283563
    Oben rechts KachelX + 1 29153 KachelY 24224 -1.74408822 1.29649276 -99.928894 74.283563
    Unten links KachelX 29152 KachelY + 1 24225 -1.74413616 1.29647978 -99.931641 74.282820
    Unten rechts KachelX + 1 29153 KachelY + 1 24225 -1.74408822 1.29647978 -99.928894 74.282820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29649276-1.29647978) × R
    1.29799999999403e-05 × 6371000     		dl = 82.6955799996194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29649276-1.29647978) × R
    1.29799999999403e-05 × 6371000     		dr = 82.6955799996194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74413616--1.74408822) × cos(1.29649276) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.270876606292501 × 6371000     		do = 82.7326879255214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74413616--1.74408822) × cos(1.29647978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.270889101000421 × 6371000     		du = 82.736504130934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29649276)-sin(1.29647978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.270876606292501-0.270889101000421)×R²
    abs(-1.74408822--1.74413616)×1.24947079200854e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.24947079200854e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.24947079200854e-05×40589641000000     		ar = 6841.78540471181m²