Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29152 / 14678
↖ ↑ ↗
← N 69.979254°
W 19.863281°		 ← 209.13 m → N 69.979254°
W 19.857788°		 →
↑
209.10 m
↓
↑
209.10 m
↓
N 69.977374°
W 19.863281°		 ← 209.15 m →
43 731 m²		 N 69.977374°
W 19.857788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444831848144531 y=0.223976135253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444831848144531 × 216)
    floor (0.444831848144531 × 65536)
    floor (29152.5)     		tx = 29152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223976135253906 × 216)
    floor (0.223976135253906 × 65536)
    floor (14678.5)     		ty = 14678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29152 / 14678 ti = "16/29152/14678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29152/14678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29152 ÷ 216
    29152 ÷ 65536     		x = 0.44482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14678 ÷ 216
    14678 ÷ 65536     		y = 0.223968505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44482421875 × 2 - 1) × π
    -0.1103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34667966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223968505859375 × 2 - 1) × π
    0.55206298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73435702825363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34667966} λ = -0.34667966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73435702825363))-π/2
    2×atan(5.66528401494711)-π/2
    2×1.39608235996539-π/2
    2.79216471993079-1.57079632675     		φ = 1.22136839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34667966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.863281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22136839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.979254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29152 KachelY 14678 -0.34667966 1.22136839 -19.863281 69.979254
    Oben rechts KachelX + 1 29153 KachelY 14678 -0.34658378 1.22136839 -19.857788 69.979254
    Unten links KachelX 29152 KachelY + 1 14679 -0.34667966 1.22133557 -19.863281 69.977374
    Unten rechts KachelX + 1 29153 KachelY + 1 14679 -0.34658378 1.22133557 -19.857788 69.977374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22136839-1.22133557) × R
    3.28200000001555e-05 × 6371000     		dl = 209.096220000991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22136839-1.22133557) × R
    3.28200000001555e-05 × 6371000     		dr = 209.096220000991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34667966--0.34658378) × cos(1.22136839) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.342360370812129 × 6371000     		do = 209.131339203922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34667966--0.34658378) × cos(1.22133557) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.342391207273073 × 6371000     		du = 209.150175701727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22136839)-sin(1.22133557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342360370812129-0.342391207273073)×R²
    abs(-0.34658378--0.34667966)×3.08364609436507e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.08364609436507e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.08364609436507e-05×40589641000000     		ar = 43730.5418354051m²