Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29152 / 14174
↖ ↑ ↗
← N 70.905863°
W 19.863281°		 ← 199.82 m → N 70.905863°
W 19.857788°		 →
↑
199.79 m
↓
↑
199.79 m
↓
N 70.904066°
W 19.863281°		 ← 199.84 m →
39 925 m²		 N 70.904066°
W 19.857788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444831848144531 y=0.216285705566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444831848144531 × 216)
    floor (0.444831848144531 × 65536)
    floor (29152.5)     		tx = 29152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216285705566406 × 216)
    floor (0.216285705566406 × 65536)
    floor (14174.5)     		ty = 14174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29152 / 14174 ti = "16/29152/14174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29152/14174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29152 ÷ 216
    29152 ÷ 65536     		x = 0.44482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14174 ÷ 216
    14174 ÷ 65536     		y = 0.216278076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44482421875 × 2 - 1) × π
    -0.1103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34667966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216278076171875 × 2 - 1) × π
    0.56744384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78267742307065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34667966} λ = -0.34667966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78267742307065))-π/2
    2×atan(5.94575442632105)-π/2
    2×1.40416854278473-π/2
    2.80833708556945-1.57079632675     		φ = 1.23754076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34667966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.863281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23754076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.905863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29152 KachelY 14174 -0.34667966 1.23754076 -19.863281 70.905863
    Oben rechts KachelX + 1 29153 KachelY 14174 -0.34658378 1.23754076 -19.857788 70.905863
    Unten links KachelX 29152 KachelY + 1 14175 -0.34667966 1.23750940 -19.863281 70.904066
    Unten rechts KachelX + 1 29153 KachelY + 1 14175 -0.34658378 1.23750940 -19.857788 70.904066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23754076-1.23750940) × R
    3.13599999999248e-05 × 6371000     		dl = 199.794559999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23754076-1.23750940) × R
    3.13599999999248e-05 × 6371000     		dr = 199.794559999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34667966--0.34658378) × cos(1.23754076) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.327121209776163 × 6371000     		do = 199.822475131144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34667966--0.34658378) × cos(1.23750940) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.327150844263 × 6371000     		du = 199.840577401288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23754076)-sin(1.23750940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327121209776163-0.327150844263)×R²
    abs(-0.34658378--0.34667966)×2.96344868371823e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.96344868371823e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.96344868371823e-05×40589641000000     		ar = 39925.2518674174m²