Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29151 / 43269
↖ ↑ ↗
← S 49.855693°
W 19.868774°		 ← 393.78 m → S 49.855693°
W 19.863281°		 →
↑
393.79 m
↓
↑
393.79 m
↓
S 49.859235°
W 19.868774°		 ← 393.76 m →
155 063 m²		 S 49.859235°
W 19.863281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444816589355469 y=0.660240173339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444816589355469 × 216)
    floor (0.444816589355469 × 65536)
    floor (29151.5)     		tx = 29151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660240173339844 × 216)
    floor (0.660240173339844 × 65536)
    floor (43269.5)     		ty = 43269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29151 / 43269 ti = "16/29151/43269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29151/43269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29151 ÷ 216
    29151 ÷ 65536     		x = 0.444808959960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43269 ÷ 216
    43269 ÷ 65536     		y = 0.660232543945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444808959960938 × 2 - 1) × π
    -0.110382080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34677553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660232543945312 × 2 - 1) × π
    -0.320465087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00677076582042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34677553} λ = -0.34677553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00677076582042))-π/2
    2×atan(0.365397029024267)-π/2
    2×0.350325163735337-π/2
    0.700650327470673-1.57079632675     		φ = -0.87014600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34677553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.868774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87014600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.855693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29151 KachelY 43269 -0.34677553 -0.87014600 -19.868774 -49.855693
    Oben rechts KachelX + 1 29152 KachelY 43269 -0.34667966 -0.87014600 -19.863281 -49.855693
    Unten links KachelX 29151 KachelY + 1 43270 -0.34677553 -0.87020781 -19.868774 -49.859235
    Unten rechts KachelX + 1 29152 KachelY + 1 43270 -0.34667966 -0.87020781 -19.863281 -49.859235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87014600--0.87020781) × R
    6.1810000000051e-05 × 6371000     		dl = 393.791510000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87014600--0.87020781) × R
    6.1810000000051e-05 × 6371000     		dr = 393.791510000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34677553--0.34667966) × cos(-0.87014600) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644714948343031 × 6371000     		do = 393.784005584096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34677553--0.34667966) × cos(-0.87020781) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644667698121325 × 6371000     		du = 393.755145726549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87014600)-sin(-0.87020781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644714948343031-0.644667698121325)×R²
    abs(-0.34667966--0.34677553)×4.7250221705375e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7250221705375e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7250221705375e-05×40589641000000     		ar = 155063.115838865m²