Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29151 / 18080
↖ ↑ ↗
← N 62.512318°
W 19.868774°		 ← 281.91 m → N 62.512318°
W 19.863281°		 →
↑
281.92 m
↓
↑
281.92 m
↓
N 62.509783°
W 19.868774°		 ← 281.94 m →
79 480 m²		 N 62.509783°
W 19.863281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444816589355469 y=0.275886535644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444816589355469 × 216)
    floor (0.444816589355469 × 65536)
    floor (29151.5)     		tx = 29151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275886535644531 × 216)
    floor (0.275886535644531 × 65536)
    floor (18080.5)     		ty = 18080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29151 / 18080 ti = "16/29151/18080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29151/18080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29151 ÷ 216
    29151 ÷ 65536     		x = 0.444808959960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18080 ÷ 216
    18080 ÷ 65536     		y = 0.27587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444808959960938 × 2 - 1) × π
    -0.110382080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34677553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27587890625 × 2 - 1) × π
    0.4482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.40819436323877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34677553} λ = -0.34677553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40819436323877))-π/2
    2×atan(4.08856626947534)-π/2
    2×1.33092104892734-π/2
    2.66184209785468-1.57079632675     		φ = 1.09104577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34677553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.868774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09104577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.512318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29151 KachelY 18080 -0.34677553 1.09104577 -19.868774 62.512318
    Oben rechts KachelX + 1 29152 KachelY 18080 -0.34667966 1.09104577 -19.863281 62.512318
    Unten links KachelX 29151 KachelY + 1 18081 -0.34677553 1.09100152 -19.868774 62.509783
    Unten rechts KachelX + 1 29152 KachelY + 1 18081 -0.34667966 1.09100152 -19.863281 62.509783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09104577-1.09100152) × R
    4.42499999999679e-05 × 6371000     		dl = 281.916749999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09104577-1.09100152) × R
    4.42499999999679e-05 × 6371000     		dr = 281.916749999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34677553--0.34667966) × cos(1.09104577) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.461557906320937 × 6371000     		do = 281.913924327628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34677553--0.34667966) × cos(1.09100152) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.461597160490211 × 6371000     		du = 281.937900294142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09104577)-sin(1.09100152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461557906320937-0.461597160490211)×R²
    abs(-0.34667966--0.34677553)×3.92541692741388e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92541692741388e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92541692741388e-05×40589641000000     		ar = 79479.6369523689m²