Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29150 / 43326
↖ ↑ ↗
← S 50.057139°
W 19.874268°		 ← 392.18 m → S 50.057139°
W 19.868774°		 →
↑
392.14 m
↓
↑
392.14 m
↓
S 50.060666°
W 19.874268°		 ← 392.15 m →
153 782 m²		 S 50.060666°
W 19.868774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444801330566406 y=0.661109924316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444801330566406 × 216)
    floor (0.444801330566406 × 65536)
    floor (29150.5)     		tx = 29150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661109924316406 × 216)
    floor (0.661109924316406 × 65536)
    floor (43326.5)     		ty = 43326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29150 / 43326 ti = "16/29150/43326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29150/43326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29150 ÷ 216
    29150 ÷ 65536     		x = 0.444793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43326 ÷ 216
    43326 ÷ 65536     		y = 0.661102294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.11041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34687141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661102294921875 × 2 - 1) × π
    -0.32220458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01223557237711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34687141} λ = -0.34687141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01223557237711))-π/2
    2×atan(0.363405651147591)-π/2
    2×0.348567220522388-π/2
    0.697134441044776-1.57079632675     		φ = -0.87366189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34687141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.874268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87366189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.057139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29150 KachelY 43326 -0.34687141 -0.87366189 -19.874268 -50.057139
    Oben rechts KachelX + 1 29151 KachelY 43326 -0.34677553 -0.87366189 -19.868774 -50.057139
    Unten links KachelX 29150 KachelY + 1 43327 -0.34687141 -0.87372344 -19.874268 -50.060666
    Unten rechts KachelX + 1 29151 KachelY + 1 43327 -0.34677553 -0.87372344 -19.868774 -50.060666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87366189--0.87372344) × R
    6.15499999999658e-05 × 6371000     		dl = 392.135049999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87366189--0.87372344) × R
    6.15499999999658e-05 × 6371000     		dr = 392.135049999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34687141--0.34677553) × cos(-0.87366189) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.642023341627955 × 6371000     		do = 392.180908427952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34687141--0.34677553) × cos(-0.87372344) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.64197615094451 × 6371000     		du = 392.152081929127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87366189)-sin(-0.87372344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642023341627955-0.64197615094451)×R²
    abs(-0.34677553--0.34687141)×4.71906834443869e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.71906834443869e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.71906834443869e-05×40589641000000     		ar = 153782.228243618m²