Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29150 / 21210
↖ ↑ ↗
← N 76.376501°
W 99.937134°		 ← 71.94 m → N 76.376501°
W 99.934387°		 →
↑
71.93 m
↓
↑
71.93 m
↓
N 76.375854°
W 99.937134°		 ← 71.94 m →
5 175 m²		 N 76.375854°
W 99.934387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222400665283203 y=0.161823272705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222400665283203 × 217)
    floor (0.222400665283203 × 131072)
    floor (29150.5)     		tx = 29150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161823272705078 × 217)
    floor (0.161823272705078 × 131072)
    floor (21210.5)     		ty = 21210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29150 / 21210 ti = "17/29150/21210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29150/21210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29150 ÷ 217
    29150 ÷ 131072     		x = 0.222396850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21210 ÷ 217
    21210 ÷ 131072     		y = 0.161819458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222396850585938 × 2 - 1) × π
    -0.555206298828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.74423203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161819458007812 × 2 - 1) × π
    0.676361083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12485101255861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74423203} λ = -1.74423203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12485101255861))-π/2
    2×atan(8.37165012447655)-π/2
    2×1.4519088755689-π/2
    2.90381775113781-1.57079632675     		φ = 1.33302142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74423203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.937134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33302142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.376501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29150 KachelY 21210 -1.74423203 1.33302142 -99.937134 76.376501
    Oben rechts KachelX + 1 29151 KachelY 21210 -1.74418409 1.33302142 -99.934387 76.376501
    Unten links KachelX 29150 KachelY + 1 21211 -1.74423203 1.33301013 -99.937134 76.375854
    Unten rechts KachelX + 1 29151 KachelY + 1 21211 -1.74418409 1.33301013 -99.934387 76.375854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33302142-1.33301013) × R
    1.12899999999971e-05 × 6371000     		dl = 71.9285899999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33302142-1.33301013) × R
    1.12899999999971e-05 × 6371000     		dr = 71.9285899999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74423203--1.74418409) × cos(1.33302142) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235540722245558 × 6371000     		do = 71.9401993919368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74423203--1.74418409) × cos(1.33301013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235551694580529 × 6371000     		du = 71.943550625465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33302142)-sin(1.33301013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235540722245558-0.235551694580529)×R²
    abs(-1.74418409--1.74423203)×1.09723349714097e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09723349714097e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09723349714097e-05×40589641000000     		ar = 5174.67763151375m²