Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29150 / 18030
↖ ↑ ↗
← N 62.638820°
W 19.874268°		 ← 280.75 m → N 62.638820°
W 19.868774°		 →
↑
280.77 m
↓
↑
280.77 m
↓
N 62.636294°
W 19.874268°		 ← 280.77 m →
78 828 m²		 N 62.636294°
W 19.868774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444801330566406 y=0.275123596191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444801330566406 × 216)
    floor (0.444801330566406 × 65536)
    floor (29150.5)     		tx = 29150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275123596191406 × 216)
    floor (0.275123596191406 × 65536)
    floor (18030.5)     		ty = 18030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29150 / 18030 ti = "16/29150/18030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29150/18030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29150 ÷ 216
    29150 ÷ 65536     		x = 0.444793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18030 ÷ 216
    18030 ÷ 65536     		y = 0.275115966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.11041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34687141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275115966796875 × 2 - 1) × π
    0.44976806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.41298805320078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34687141} λ = -0.34687141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41298805320078))-π/2
    2×atan(4.10821264024358)-π/2
    2×1.33202498185858-π/2
    2.66404996371715-1.57079632675     		φ = 1.09325364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34687141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.874268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09325364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.638820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29150 KachelY 18030 -0.34687141 1.09325364 -19.874268 62.638820
    Oben rechts KachelX + 1 29151 KachelY 18030 -0.34677553 1.09325364 -19.868774 62.638820
    Unten links KachelX 29150 KachelY + 1 18031 -0.34687141 1.09320957 -19.874268 62.636294
    Unten rechts KachelX + 1 29151 KachelY + 1 18031 -0.34677553 1.09320957 -19.868774 62.636294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09325364-1.09320957) × R
    4.40699999999516e-05 × 6371000     		dl = 280.769969999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09325364-1.09320957) × R
    4.40699999999516e-05 × 6371000     		dr = 280.769969999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34687141--0.34677553) × cos(1.09325364) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.459598159198189 × 6371000     		do = 280.746215751468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34687141--0.34677553) × cos(1.09320957) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.459637298507864 × 6371000     		du = 280.770124056709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09325364)-sin(1.09320957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459598159198189-0.459637298507864)×R²
    abs(-0.34677553--0.34687141)×3.91393096746961e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.91393096746961e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.91393096746961e-05×40589641000000     		ar = 78828.4629540464m²