Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29150 / 14265
↖ ↑ ↗
← N 70.741666°
W 19.874268°		 ← 201.48 m → N 70.741666°
W 19.868774°		 →
↑
201.45 m
↓
↑
201.45 m
↓
N 70.739854°
W 19.874268°		 ← 201.49 m →
40 589 m²		 N 70.739854°
W 19.868774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444801330566406 y=0.217674255371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444801330566406 × 216)
    floor (0.444801330566406 × 65536)
    floor (29150.5)     		tx = 29150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217674255371094 × 216)
    floor (0.217674255371094 × 65536)
    floor (14265.5)     		ty = 14265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29150 / 14265 ti = "16/29150/14265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29150/14265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29150 ÷ 216
    29150 ÷ 65536     		x = 0.444793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14265 ÷ 216
    14265 ÷ 65536     		y = 0.217666625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.11041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34687141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217666625976562 × 2 - 1) × π
    0.564666748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7739529073398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34687141} λ = -0.34687141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7739529073398))-π/2
    2×atan(5.89410622866247)-π/2
    2×1.40273565906015-π/2
    2.80547131812029-1.57079632675     		φ = 1.23467499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34687141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.874268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23467499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.741666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29150 KachelY 14265 -0.34687141 1.23467499 -19.874268 70.741666
    Oben rechts KachelX + 1 29151 KachelY 14265 -0.34677553 1.23467499 -19.868774 70.741666
    Unten links KachelX 29150 KachelY + 1 14266 -0.34687141 1.23464337 -19.874268 70.739854
    Unten rechts KachelX + 1 29151 KachelY + 1 14266 -0.34677553 1.23464337 -19.868774 70.739854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23467499-1.23464337) × R
    3.1620000000121e-05 × 6371000     		dl = 201.451020000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23467499-1.23464337) × R
    3.1620000000121e-05 × 6371000     		dr = 201.451020000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34687141--0.34677553) × cos(1.23467499) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.329827964985111 × 6371000     		do = 201.475900556528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34687141--0.34677553) × cos(1.23464337) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.32985781539838 × 6371000     		du = 201.494134725652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23467499)-sin(1.23464337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329827964985111-0.32985781539838)×R²
    abs(-0.34677553--0.34687141)×2.98504132689725e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.98504132689725e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.98504132689725e-05×40589641000000     		ar = 40589.3623220835m²