Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29149 / 21209
↖ ↑ ↗
← N 76.377149°
W 99.939881°		 ← 71.94 m → N 76.377149°
W 99.937134°		 →
↑
71.99 m
↓
↑
71.99 m
↓
N 76.376501°
W 99.939881°		 ← 71.94 m →
5 179 m²		 N 76.376501°
W 99.937134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222393035888672 y=0.161815643310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222393035888672 × 217)
    floor (0.222393035888672 × 131072)
    floor (29149.5)     		tx = 29149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161815643310547 × 217)
    floor (0.161815643310547 × 131072)
    floor (21209.5)     		ty = 21209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29149 / 21209 ti = "17/29149/21209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29149/21209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29149 ÷ 217
    29149 ÷ 131072     		x = 0.222389221191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21209 ÷ 217
    21209 ÷ 131072     		y = 0.161811828613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222389221191406 × 2 - 1) × π
    -0.555221557617188 × 3.1415926535     		Λ = -1.74427997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161811828613281 × 2 - 1) × π
    0.676376342773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.12489894945823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74427997} λ = -1.74427997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12489894945823))-π/2
    2×atan(8.37205144504717)-π/2
    2×1.45191452098328-π/2
    2.90382904196655-1.57079632675     		φ = 1.33303272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74427997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.939881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33303272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.377149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29149 KachelY 21209 -1.74427997 1.33303272 -99.939881 76.377149
    Oben rechts KachelX + 1 29150 KachelY 21209 -1.74423203 1.33303272 -99.937134 76.377149
    Unten links KachelX 29149 KachelY + 1 21210 -1.74427997 1.33302142 -99.939881 76.376501
    Unten rechts KachelX + 1 29150 KachelY + 1 21210 -1.74423203 1.33302142 -99.937134 76.376501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33303272-1.33302142) × R
    1.13000000001584e-05 × 6371000     		dl = 71.9923000010092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33303272-1.33302142) × R
    1.13000000001584e-05 × 6371000     		dr = 71.9923000010092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74427997--1.74423203) × cos(1.33303272) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235529740161892 × 6371000     		do = 71.9368451809064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74427997--1.74423203) × cos(1.33302142) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235540722245558 × 6371000     		du = 71.9401993919368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33303272)-sin(1.33302142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235529740161892-0.235540722245558)×R²
    abs(-1.74423203--1.74427997)×1.09820836659558e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09820836659558e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09820836659558e-05×40589641000000     		ar = 5179.01967815481m²