Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29149 / 18027
↖ ↑ ↗
← N 62.646392°
W 19.879761°		 ← 280.65 m → N 62.646392°
W 19.874268°		 →
↑
280.64 m
↓
↑
280.64 m
↓
N 62.643868°
W 19.879761°		 ← 280.67 m →
78 764 m²		 N 62.643868°
W 19.874268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444786071777344 y=0.275077819824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444786071777344 × 216)
    floor (0.444786071777344 × 65536)
    floor (29149.5)     		tx = 29149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275077819824219 × 216)
    floor (0.275077819824219 × 65536)
    floor (18027.5)     		ty = 18027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29149 / 18027 ti = "16/29149/18027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29149/18027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29149 ÷ 216
    29149 ÷ 65536     		x = 0.444778442382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18027 ÷ 216
    18027 ÷ 65536     		y = 0.275070190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444778442382812 × 2 - 1) × π
    -0.110443115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34696728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275070190429688 × 2 - 1) × π
    0.449859619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4132756745985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34696728} λ = -0.34696728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4132756745985))-π/2
    2×atan(4.10939442004973)-π/2
    2×1.33209106855015-π/2
    2.6641821371003-1.57079632675     		φ = 1.09338581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34696728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.879761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09338581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.646392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29149 KachelY 18027 -0.34696728 1.09338581 -19.879761 62.646392
    Oben rechts KachelX + 1 29150 KachelY 18027 -0.34687141 1.09338581 -19.874268 62.646392
    Unten links KachelX 29149 KachelY + 1 18028 -0.34696728 1.09334176 -19.879761 62.643868
    Unten rechts KachelX + 1 29150 KachelY + 1 18028 -0.34687141 1.09334176 -19.874268 62.643868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09338581-1.09334176) × R
    4.40500000000732e-05 × 6371000     		dl = 280.642550000466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09338581-1.09334176) × R
    4.40500000000732e-05 × 6371000     		dr = 280.642550000466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34696728--0.34687141) × cos(1.09338581) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459480771441285 × 6371000     		do = 280.645235746496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34696728--0.34687141) × cos(1.09334176) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459519895664419 × 6371000     		du = 280.669132343497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09338581)-sin(1.09334176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459480771441285-0.459519895664419)×R²
    abs(-0.34687141--0.34696728)×3.91242231336242e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91242231336242e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91242231336242e-05×40589641000000     		ar = 78764.3478187195m²