Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29149 / 14266
↖ ↑ ↗
← N 70.739854°
W 19.879761°		 ← 201.47 m → N 70.739854°
W 19.874268°		 →
↑
201.51 m
↓
↑
201.51 m
↓
N 70.738042°
W 19.879761°		 ← 201.49 m →
40 602 m²		 N 70.738042°
W 19.874268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444786071777344 y=0.217689514160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444786071777344 × 216)
    floor (0.444786071777344 × 65536)
    floor (29149.5)     		tx = 29149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217689514160156 × 216)
    floor (0.217689514160156 × 65536)
    floor (14266.5)     		ty = 14266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29149 / 14266 ti = "16/29149/14266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29149/14266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29149 ÷ 216
    29149 ÷ 65536     		x = 0.444778442382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14266 ÷ 216
    14266 ÷ 65536     		y = 0.217681884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444778442382812 × 2 - 1) × π
    -0.110443115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34696728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217681884765625 × 2 - 1) × π
    0.56463623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.77385703354056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34696728} λ = -0.34696728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77385703354056))-π/2
    2×atan(5.89354116539302)-π/2
    2×1.40271984741462-π/2
    2.80543969482925-1.57079632675     		φ = 1.23464337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34696728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.879761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23464337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.739854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29149 KachelY 14266 -0.34696728 1.23464337 -19.879761 70.739854
    Oben rechts KachelX + 1 29150 KachelY 14266 -0.34687141 1.23464337 -19.874268 70.739854
    Unten links KachelX 29149 KachelY + 1 14267 -0.34696728 1.23461174 -19.879761 70.738042
    Unten rechts KachelX + 1 29150 KachelY + 1 14267 -0.34687141 1.23461174 -19.874268 70.738042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23464337-1.23461174) × R
    3.16299999998382e-05 × 6371000     		dl = 201.514729998969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23464337-1.23461174) × R
    3.16299999998382e-05 × 6371000     		dr = 201.514729998969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34696728--0.34687141) × cos(1.23464337) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32985781539838 × 6371000     		do = 201.473119484244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34696728--0.34687141) × cos(1.23461174) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329887674922051 × 6371000     		du = 201.49135731612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23464337)-sin(1.23461174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32985781539838-0.329887674922051)×R²
    abs(-0.34687141--0.34696728)×2.98595236707944e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.98595236707944e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.98595236707944e-05×40589641000000     		ar = 40601.6388743301m²