Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29148 / 14273
↖ ↑ ↗
← N 70.727166°
W 19.885254°		 ← 201.60 m → N 70.727166°
W 19.879761°		 →
↑
201.58 m
↓
↑
201.58 m
↓
N 70.725353°
W 19.885254°		 ← 201.62 m →
40 640 m²		 N 70.725353°
W 19.879761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444770812988281 y=0.217796325683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444770812988281 × 216)
    floor (0.444770812988281 × 65536)
    floor (29148.5)     		tx = 29148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217796325683594 × 216)
    floor (0.217796325683594 × 65536)
    floor (14273.5)     		ty = 14273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29148 / 14273 ti = "16/29148/14273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29148/14273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29148 ÷ 216
    29148 ÷ 65536     		x = 0.44476318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14273 ÷ 216
    14273 ÷ 65536     		y = 0.217788696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44476318359375 × 2 - 1) × π
    -0.1104736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34706315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217788696289062 × 2 - 1) × π
    0.564422607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.77318591694588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34706315} λ = -0.34706315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77318591694588))-π/2
    2×atan(5.88958723903669)-π/2
    2×1.40260912581762-π/2
    2.80521825163524-1.57079632675     		φ = 1.23442192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34706315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.885254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23442192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.727166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29148 KachelY 14273 -0.34706315 1.23442192 -19.885254 70.727166
    Oben rechts KachelX + 1 29149 KachelY 14273 -0.34696728 1.23442192 -19.879761 70.727166
    Unten links KachelX 29148 KachelY + 1 14274 -0.34706315 1.23439028 -19.885254 70.725353
    Unten rechts KachelX + 1 29149 KachelY + 1 14274 -0.34696728 1.23439028 -19.879761 70.725353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23442192-1.23439028) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dl = 201.578439999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23442192-1.23439028) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dr = 201.578439999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34706315--0.34696728) × cos(1.23442192) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330066862890527 × 6371000     		do = 201.600803135796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34706315--0.34696728) × cos(1.23439028) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330096729542355 × 6371000     		du = 201.619045321464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23442192)-sin(1.23439028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330066862890527-0.330096729542355)×R²
    abs(-0.34696728--0.34706315)×2.98666518283586e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.98666518283586e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.98666518283586e-05×40589641000000     		ar = 40640.2140179388m²