Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29148 / 14198
↖ ↑ ↗
← N 70.862689°
W 19.885254°		 ← 200.24 m → N 70.862689°
W 19.879761°		 →
↑
200.24 m
↓
↑
200.24 m
↓
N 70.860888°
W 19.885254°		 ← 200.25 m →
40 097 m²		 N 70.860888°
W 19.879761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444770812988281 y=0.216651916503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444770812988281 × 216)
    floor (0.444770812988281 × 65536)
    floor (29148.5)     		tx = 29148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216651916503906 × 216)
    floor (0.216651916503906 × 65536)
    floor (14198.5)     		ty = 14198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29148 / 14198 ti = "16/29148/14198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29148/14198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29148 ÷ 216
    29148 ÷ 65536     		x = 0.44476318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14198 ÷ 216
    14198 ÷ 65536     		y = 0.216644287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44476318359375 × 2 - 1) × π
    -0.1104736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34706315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216644287109375 × 2 - 1) × π
    0.56671142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78037645188889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34706315} λ = -0.34706315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78037645188889))-π/2
    2×atan(5.93208914447131)-π/2
    2×1.40379178512247-π/2
    2.80758357024493-1.57079632675     		φ = 1.23678724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34706315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.885254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23678724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.862689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29148 KachelY 14198 -0.34706315 1.23678724 -19.885254 70.862689
    Oben rechts KachelX + 1 29149 KachelY 14198 -0.34696728 1.23678724 -19.879761 70.862689
    Unten links KachelX 29148 KachelY + 1 14199 -0.34706315 1.23675581 -19.885254 70.860888
    Unten rechts KachelX + 1 29149 KachelY + 1 14199 -0.34696728 1.23675581 -19.879761 70.860888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23678724-1.23675581) × R
    3.14299999999434e-05 × 6371000     		dl = 200.24052999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23678724-1.23675581) × R
    3.14299999999434e-05 × 6371000     		dr = 200.24052999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34706315--0.34696728) × cos(1.23678724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327833179969515 × 6371000     		do = 200.236496925585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34706315--0.34696728) × cos(1.23675581) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327862872848362 × 6371000     		du = 200.25463297284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23678724)-sin(1.23675581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327833179969515-0.327862872848362)×R²
    abs(-0.34696728--0.34706315)×2.96928788472428e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.96928788472428e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.96928788472428e-05×40589641000000     		ar = 40097.2780590637m²