Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29147 / 14136
↖ ↑ ↗
← N 70.974028°
W 19.890747°		 ← 199.14 m → N 70.974028°
W 19.885254°		 →
↑
199.16 m
↓
↑
199.16 m
↓
N 70.972237°
W 19.890747°		 ← 199.15 m →
39 661 m²		 N 70.972237°
W 19.885254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444755554199219 y=0.215705871582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444755554199219 × 216)
    floor (0.444755554199219 × 65536)
    floor (29147.5)     		tx = 29147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215705871582031 × 216)
    floor (0.215705871582031 × 65536)
    floor (14136.5)     		ty = 14136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29147 / 14136 ti = "16/29147/14136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29147/14136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29147 ÷ 216
    29147 ÷ 65536     		x = 0.444747924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14136 ÷ 216
    14136 ÷ 65536     		y = 0.2156982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444747924804688 × 2 - 1) × π
    -0.110504150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34715903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2156982421875 × 2 - 1) × π
    0.568603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78632062744177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34715903} λ = -0.34715903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78632062744177))-π/2
    2×atan(5.96745553161438)-π/2
    2×1.40476340278797-π/2
    2.80952680557594-1.57079632675     		φ = 1.23873048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34715903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.890747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23873048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.974028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29147 KachelY 14136 -0.34715903 1.23873048 -19.890747 70.974028
    Oben rechts KachelX + 1 29148 KachelY 14136 -0.34706315 1.23873048 -19.885254 70.974028
    Unten links KachelX 29147 KachelY + 1 14137 -0.34715903 1.23869922 -19.890747 70.972237
    Unten rechts KachelX + 1 29148 KachelY + 1 14137 -0.34706315 1.23869922 -19.885254 70.972237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23873048-1.23869922) × R
    3.12600000000884e-05 × 6371000     		dl = 199.157460000563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23873048-1.23869922) × R
    3.12600000000884e-05 × 6371000     		dr = 199.157460000563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34715903--0.34706315) × cos(1.23873048) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.325996714085265 × 6371000     		do = 199.135575274106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34715903--0.34706315) × cos(1.23869922) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.326026266220378 × 6371000     		du = 199.153627239577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23873048)-sin(1.23869922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325996714085265-0.326026266220378)×R²
    abs(-0.34706315--0.34715903)×2.95521351127981e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.95521351127981e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.95521351127981e-05×40589641000000     		ar = 39661.1329626188m²