Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29145 / 43170
↖ ↑ ↗
← S 49.503810°
W 19.901733°		 ← 396.64 m → S 49.503810°
W 19.896240°		 →
↑
396.66 m
↓
↑
396.66 m
↓
S 49.507377°
W 19.901733°		 ← 396.62 m →
157 326 m²		 S 49.507377°
W 19.896240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444725036621094 y=0.658729553222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444725036621094 × 216)
    floor (0.444725036621094 × 65536)
    floor (29145.5)     		tx = 29145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658729553222656 × 216)
    floor (0.658729553222656 × 65536)
    floor (43170.5)     		ty = 43170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29145 / 43170 ti = "16/29145/43170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29145/43170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29145 ÷ 216
    29145 ÷ 65536     		x = 0.444717407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43170 ÷ 216
    43170 ÷ 65536     		y = 0.658721923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444717407226562 × 2 - 1) × π
    -0.110565185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34735077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658721923828125 × 2 - 1) × π
    -0.31744384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.997279259695648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34735077} λ = -0.34735077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.997279259695648))-π/2
    2×atan(0.368881708430376)-π/2
    2×0.353395929016831-π/2
    0.706791858033662-1.57079632675     		φ = -0.86400447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34735077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.901733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86400447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.503810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29145 KachelY 43170 -0.34735077 -0.86400447 -19.901733 -49.503810
    Oben rechts KachelX + 1 29146 KachelY 43170 -0.34725490 -0.86400447 -19.896240 -49.503810
    Unten links KachelX 29145 KachelY + 1 43171 -0.34735077 -0.86406673 -19.901733 -49.507377
    Unten rechts KachelX + 1 29146 KachelY + 1 43171 -0.34725490 -0.86406673 -19.896240 -49.507377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86400447--0.86406673) × R
    6.22599999999807e-05 × 6371000     		dl = 396.658459999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86400447--0.86406673) × R
    6.22599999999807e-05 × 6371000     		dr = 396.658459999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34735077--0.34725490) × cos(-0.86400447) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.649397487302138 × 6371000     		do = 396.644043112867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34735077--0.34725490) × cos(-0.86406673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.649350140479713 × 6371000     		du = 396.615124252782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86400447)-sin(-0.86406673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649397487302138-0.649350140479713)×R²
    abs(-0.34725490--0.34735077)×4.73468224247986e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73468224247986e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73468224247986e-05×40589641000000     		ar = 157326.479905002m²