Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29145 / 43159
↖ ↑ ↗
← S 49.464554°
W 19.901733°		 ← 396.96 m → S 49.464554°
W 19.896240°		 →
↑
396.98 m
↓
↑
396.98 m
↓
S 49.468124°
W 19.901733°		 ← 396.93 m →
157 579 m²		 S 49.468124°
W 19.896240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444725036621094 y=0.658561706542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444725036621094 × 216)
    floor (0.444725036621094 × 65536)
    floor (29145.5)     		tx = 29145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658561706542969 × 216)
    floor (0.658561706542969 × 65536)
    floor (43159.5)     		ty = 43159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29145 / 43159 ti = "16/29145/43159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29145/43159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29145 ÷ 216
    29145 ÷ 65536     		x = 0.444717407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43159 ÷ 216
    43159 ÷ 65536     		y = 0.658554077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444717407226562 × 2 - 1) × π
    -0.110565185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34735077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658554077148438 × 2 - 1) × π
    -0.317108154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.996224647904007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34735077} λ = -0.34735077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.996224647904007))-π/2
    2×atan(0.36927094063817)-π/2
    2×0.353738497462254-π/2
    0.707476994924509-1.57079632675     		φ = -0.86331933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34735077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.901733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86331933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.464554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29145 KachelY 43159 -0.34735077 -0.86331933 -19.901733 -49.464554
    Oben rechts KachelX + 1 29146 KachelY 43159 -0.34725490 -0.86331933 -19.896240 -49.464554
    Unten links KachelX 29145 KachelY + 1 43160 -0.34735077 -0.86338164 -19.901733 -49.468124
    Unten rechts KachelX + 1 29146 KachelY + 1 43160 -0.34725490 -0.86338164 -19.896240 -49.468124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86331933--0.86338164) × R
    6.23099999998988e-05 × 6371000     		dl = 396.977009999355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86331933--0.86338164) × R
    6.23099999998988e-05 × 6371000     		dr = 396.977009999355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34735077--0.34725490) × cos(-0.86331933) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.649918348970146 × 6371000     		do = 396.962179049548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34735077--0.34725490) × cos(-0.86338164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.649870991856825 × 6371000     		du = 396.93325390391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86331933)-sin(-0.86338164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649918348970146-0.649870991856825)×R²
    abs(-0.34725490--0.34735077)×4.73571133204898e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73571133204898e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73571133204898e-05×40589641000000     		ar = 157579.117663919m²