Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29144 / 42696
↖ ↑ ↗
← S 47.783634°
W 19.907227°		 ← 410.45 m → S 47.783634°
W 19.901733°		 →
↑
410.42 m
↓
↑
410.42 m
↓
S 47.787325°
W 19.907227°		 ← 410.42 m →
168 451 m²		 S 47.787325°
W 19.901733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444709777832031 y=0.651496887207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444709777832031 × 216)
    floor (0.444709777832031 × 65536)
    floor (29144.5)     		tx = 29144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651496887207031 × 216)
    floor (0.651496887207031 × 65536)
    floor (42696.5)     		ty = 42696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29144 / 42696 ti = "16/29144/42696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29144/42696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29144 ÷ 216
    29144 ÷ 65536     		x = 0.4447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42696 ÷ 216
    42696 ÷ 65536     		y = 0.6514892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.110595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34744665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6514892578125 × 2 - 1) × π
    -0.302978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.951835078855835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34744665} λ = -0.34744665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.951835078855835))-π/2
    2×atan(0.386031973959522)-π/2
    2×0.368407286928912-π/2
    0.736814573857824-1.57079632675     		φ = -0.83398175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34744665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.907227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83398175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.783634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29144 KachelY 42696 -0.34744665 -0.83398175 -19.907227 -47.783634
    Oben rechts KachelX + 1 29145 KachelY 42696 -0.34735077 -0.83398175 -19.901733 -47.783634
    Unten links KachelX 29144 KachelY + 1 42697 -0.34744665 -0.83404617 -19.907227 -47.787325
    Unten rechts KachelX + 1 29145 KachelY + 1 42697 -0.34735077 -0.83404617 -19.901733 -47.787325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83398175--0.83404617) × R
    6.4420000000065e-05 × 6371000     		dl = 410.419820000414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83398175--0.83404617) × R
    6.4420000000065e-05 × 6371000     		dr = 410.419820000414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34744665--0.34735077) × cos(-0.83398175) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.671932159752895 × 6371000     		do = 410.450754244858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34744665--0.34735077) × cos(-0.83404617) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.6718844480885 × 6371000     		du = 410.421609504049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83398175)-sin(-0.83404617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671932159752895-0.6718844480885)×R²
    abs(-0.34735077--0.34744665)×4.77116643949893e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77116643949893e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77116643949893e-05×40589641000000     		ar = 168451.143944617m²