Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29144 / 19002
↖ ↑ ↗
← N 60.081284°
W 19.907227°		 ← 304.67 m → N 60.081284°
W 19.901733°		 →
↑
304.66 m
↓
↑
304.66 m
↓
N 60.078544°
W 19.907227°		 ← 304.70 m →
92 826 m²		 N 60.078544°
W 19.901733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444709777832031 y=0.289955139160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444709777832031 × 216)
    floor (0.444709777832031 × 65536)
    floor (29144.5)     		tx = 29144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289955139160156 × 216)
    floor (0.289955139160156 × 65536)
    floor (19002.5)     		ty = 19002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29144 / 19002 ti = "16/29144/19002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29144/19002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29144 ÷ 216
    29144 ÷ 65536     		x = 0.4447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19002 ÷ 216
    19002 ÷ 65536     		y = 0.289947509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.110595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34744665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289947509765625 × 2 - 1) × π
    0.42010498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31979872033939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34744665} λ = -0.34744665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31979872033939))-π/2
    2×atan(3.74266797850098)-π/2
    2×1.30970627169413-π/2
    2.61941254338825-1.57079632675     		φ = 1.04861622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34744665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.907227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04861622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.081284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29144 KachelY 19002 -0.34744665 1.04861622 -19.907227 60.081284
    Oben rechts KachelX + 1 29145 KachelY 19002 -0.34735077 1.04861622 -19.901733 60.081284
    Unten links KachelX 29144 KachelY + 1 19003 -0.34744665 1.04856840 -19.907227 60.078544
    Unten rechts KachelX + 1 29145 KachelY + 1 19003 -0.34735077 1.04856840 -19.901733 60.078544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04861622-1.04856840) × R
    4.78200000000317e-05 × 6371000     		dl = 304.661220000202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04861622-1.04856840) × R
    4.78200000000317e-05 × 6371000     		dr = 304.661220000202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34744665--0.34735077) × cos(1.04861622) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.498770894033607 × 6371000     		do = 304.674938801505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34744665--0.34735077) × cos(1.04856840) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.498812340676802 × 6371000     		du = 304.700256544842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04861622)-sin(1.04856840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.498770894033607-0.498812340676802)×R²
    abs(-0.34735077--0.34744665)×4.14466431954419e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.14466431954419e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.14466431954419e-05×40589641000000     		ar = 92826.4952435735m²