Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29144 / 14280
↖ ↑ ↗
← N 70.714471°
W 19.907227°		 ← 201.75 m → N 70.714471°
W 19.901733°		 →
↑
201.71 m
↓
↑
201.71 m
↓
N 70.712657°
W 19.907227°		 ← 201.77 m →
40 696 m²		 N 70.712657°
W 19.901733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444709777832031 y=0.217903137207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444709777832031 × 216)
    floor (0.444709777832031 × 65536)
    floor (29144.5)     		tx = 29144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217903137207031 × 216)
    floor (0.217903137207031 × 65536)
    floor (14280.5)     		ty = 14280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29144 / 14280 ti = "16/29144/14280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29144/14280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29144 ÷ 216
    29144 ÷ 65536     		x = 0.4447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14280 ÷ 216
    14280 ÷ 65536     		y = 0.2178955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.110595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34744665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2178955078125 × 2 - 1) × π
    0.564208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7725148003512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34744665} λ = -0.34744665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7725148003512))-π/2
    2×atan(5.88563596533573)-π/2
    2×1.40249833405564-π/2
    2.80499666811129-1.57079632675     		φ = 1.23420034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34744665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.907227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23420034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.714471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29144 KachelY 14280 -0.34744665 1.23420034 -19.907227 70.714471
    Oben rechts KachelX + 1 29145 KachelY 14280 -0.34735077 1.23420034 -19.901733 70.714471
    Unten links KachelX 29144 KachelY + 1 14281 -0.34744665 1.23416868 -19.907227 70.712657
    Unten rechts KachelX + 1 29145 KachelY + 1 14281 -0.34735077 1.23416868 -19.901733 70.712657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23420034-1.23416868) × R
    3.16599999998779e-05 × 6371000     		dl = 201.705859999222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23420034-1.23416868) × R
    3.16599999998779e-05 × 6371000     		dr = 201.705859999222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34744665--0.34735077) × cos(1.23420034) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.330276016901136 × 6371000     		do = 201.749593732665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34744665--0.34735077) × cos(1.23416868) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.330305900115575 × 6371000     		du = 201.767847938433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23420034)-sin(1.23416868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330276016901136-0.330305900115575)×R²
    abs(-0.34735077--0.34744665)×2.9883214439308e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.9883214439308e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.9883214439308e-05×40589641000000     		ar = 40695.9163021935m²