Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29143 / 43161
↖ ↑ ↗
← S 49.471694°
W 19.912720°		 ← 396.90 m → S 49.471694°
W 19.907227°		 →
↑
396.91 m
↓
↑
396.91 m
↓
S 49.475263°
W 19.912720°		 ← 396.88 m →
157 531 m²		 S 49.475263°
W 19.907227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444694519042969 y=0.658592224121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444694519042969 × 216)
    floor (0.444694519042969 × 65536)
    floor (29143.5)     		tx = 29143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658592224121094 × 216)
    floor (0.658592224121094 × 65536)
    floor (43161.5)     		ty = 43161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29143 / 43161 ti = "16/29143/43161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29143/43161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29143 ÷ 216
    29143 ÷ 65536     		x = 0.444686889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43161 ÷ 216
    43161 ÷ 65536     		y = 0.658584594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444686889648438 × 2 - 1) × π
    -0.110626220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34754252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658584594726562 × 2 - 1) × π
    -0.317169189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.996416395502487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34754252} λ = -0.34754252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.996416395502487))-π/2
    2×atan(0.369200140610199)-π/2
    2×0.353676191861216-π/2
    0.707352383722431-1.57079632675     		φ = -0.86344394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34754252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.912720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86344394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.471694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29143 KachelY 43161 -0.34754252 -0.86344394 -19.912720 -49.471694
    Oben rechts KachelX + 1 29144 KachelY 43161 -0.34744665 -0.86344394 -19.907227 -49.471694
    Unten links KachelX 29143 KachelY + 1 43162 -0.34754252 -0.86350624 -19.912720 -49.475263
    Unten rechts KachelX + 1 29144 KachelY + 1 43162 -0.34744665 -0.86350624 -19.907227 -49.475263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86344394--0.86350624) × R
    6.22999999999596e-05 × 6371000     		dl = 396.913299999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86344394--0.86350624) × R
    6.22999999999596e-05 × 6371000     		dr = 396.913299999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34754252--0.34744665) × cos(-0.86344394) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.649823639821207 × 6371000     		do = 396.90433185967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34754252--0.34744665) × cos(-0.86350624) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.649776285263435 × 6371000     		du = 396.875408274929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86344394)-sin(-0.86350624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649823639821207-0.649776285263435)×R²
    abs(-0.34744665--0.34754252)×4.73545577719392e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73545577719392e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73545577719392e-05×40589641000000     		ar = 157530.868116091m²