Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29143 / 19005
↖ ↑ ↗
← N 60.073063°
W 19.912720°		 ← 304.72 m → N 60.073063°
W 19.907227°		 →
↑
304.72 m
↓
↑
304.72 m
↓
N 60.070322°
W 19.912720°		 ← 304.74 m →
92 859 m²		 N 60.070322°
W 19.907227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444694519042969 y=0.290000915527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444694519042969 × 216)
    floor (0.444694519042969 × 65536)
    floor (29143.5)     		tx = 29143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290000915527344 × 216)
    floor (0.290000915527344 × 65536)
    floor (19005.5)     		ty = 19005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29143 / 19005 ti = "16/29143/19005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29143/19005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29143 ÷ 216
    29143 ÷ 65536     		x = 0.444686889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19005 ÷ 216
    19005 ÷ 65536     		y = 0.289993286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444686889648438 × 2 - 1) × π
    -0.110626220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34754252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289993286132812 × 2 - 1) × π
    0.420013427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.31951109894167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34754252} λ = -0.34754252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31951109894167))-π/2
    2×atan(3.74159166189906)-π/2
    2×1.30963453416171-π/2
    2.61926906832342-1.57079632675     		φ = 1.04847274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34754252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.912720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04847274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.073063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29143 KachelY 19005 -0.34754252 1.04847274 -19.912720 60.073063
    Oben rechts KachelX + 1 29144 KachelY 19005 -0.34744665 1.04847274 -19.907227 60.073063
    Unten links KachelX 29143 KachelY + 1 19006 -0.34754252 1.04842491 -19.912720 60.070322
    Unten rechts KachelX + 1 29144 KachelY + 1 19006 -0.34744665 1.04842491 -19.907227 60.070322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04847274-1.04842491) × R
    4.7829999999971e-05 × 6371000     		dl = 304.724929999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04847274-1.04842491) × R
    4.7829999999971e-05 × 6371000     		dr = 304.724929999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34754252--0.34744665) × cos(1.04847274) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.498895247874363 × 6371000     		do = 304.719115912773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34754252--0.34744665) × cos(1.04842491) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.498936699761201 × 6371000     		du = 304.744434218297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04847274)-sin(1.04842491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.498895247874363-0.498936699761201)×R²
    abs(-0.34744665--0.34754252)×4.14518868373515e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.14518868373515e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.14518868373515e-05×40589641000000     		ar = 92859.3688431127m²