Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29142 / 14284
↖ ↑ ↗
← N 70.707212°
W 19.918213°		 ← 201.82 m → N 70.707212°
W 19.912720°		 →
↑
201.83 m
↓
↑
201.83 m
↓
N 70.705397°
W 19.918213°		 ← 201.84 m →
40 736 m²		 N 70.705397°
W 19.912720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444679260253906 y=0.217964172363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444679260253906 × 216)
    floor (0.444679260253906 × 65536)
    floor (29142.5)     		tx = 29142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217964172363281 × 216)
    floor (0.217964172363281 × 65536)
    floor (14284.5)     		ty = 14284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29142 / 14284 ti = "16/29142/14284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29142/14284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29142 ÷ 216
    29142 ÷ 65536     		x = 0.444671630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14284 ÷ 216
    14284 ÷ 65536     		y = 0.21795654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444671630859375 × 2 - 1) × π
    -0.11065673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34763840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21795654296875 × 2 - 1) × π
    0.5640869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77213130515424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34763840} λ = -0.34763840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77213130515424))-π/2
    2×atan(5.88337928495267)-π/2
    2×1.40243499295972-π/2
    2.80486998591943-1.57079632675     		φ = 1.23407366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34763840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.918213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23407366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.707212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29142 KachelY 14284 -0.34763840 1.23407366 -19.918213 70.707212
    Oben rechts KachelX + 1 29143 KachelY 14284 -0.34754252 1.23407366 -19.912720 70.707212
    Unten links KachelX 29142 KachelY + 1 14285 -0.34763840 1.23404198 -19.918213 70.705397
    Unten rechts KachelX + 1 29143 KachelY + 1 14285 -0.34754252 1.23404198 -19.912720 70.705397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23407366-1.23404198) × R
    3.16799999999784e-05 × 6371000     		dl = 201.833279999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23407366-1.23404198) × R
    3.16799999999784e-05 × 6371000     		dr = 201.833279999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34763840--0.34754252) × cos(1.23407366) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.330395585525972 × 6371000     		do = 201.822632403991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34763840--0.34754252) × cos(1.23404198) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.330425486292119 × 6371000     		du = 201.840897331245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23407366)-sin(1.23404198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330395585525972-0.330425486292119)×R²
    abs(-0.34754252--0.34763840)×2.99007661471173e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.99007661471173e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.99007661471173e-05×40589641000000     		ar = 40736.3671148519m²